Calcule as derivas a seguir
h(x)=x cdot ln (sec x5)

Passo 1

A função que a gente tem é h(x)=xcdotlnl(tfracsec x5r). O que vamos usar aqui é a regra do produto (porque é um produto de duas funções) e, dentro dela, a regra da cadeia (para derivar o ln de uma expressão).

Passo 2

Identificamos as duas partes do produto: u(x)=x e v(x)=lnl(tfracsec x5r). A regra do produto diz que
h'(x)=u'(x)cdot v(x)+u(x)cdot v'(x)
Já vemos que u'(x)=1.

Passo 3

Agora precisamos de v'(x). Como v(x)=ln(g(x)) com g(x)=tfracsec x5, a regra da cadeia para log dá
v'(x)=g'(x)g(x)
E como g'(x)=tfrac15(sec xtan x), temos
v'(x)=tfrac15sec xtan xtfracsec x5=tan x

Passo 4

Substituindo tudo em h'(x)=u',v+u,v', vem
h'(x)=1cdotlnl(tfracsec x5r)+xcdottan x
e, reorganizando, o resultado é bem simples.

Resposta

h'(x)=x,tan x+lnl(tfracsec x5r)

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