Calcule utilizando o método de Frações Parciais.
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Passo 1
O enunciado pede para calcular usando frações parciais. O conteúdo é integração de função racional, e vamos precisar: fatorar o denominador, decompor em frações parciais e usar integrais básicas como e , .
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador . Testando , temos , então é fator. Fazendo a divisão, obtemos
Agora montamos a decomposição em frações parciais:
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por e igualamos coeficientes:
Expandindo e coletando termos em e constante, chegamos ao sistema
Resolvendo, obtemos A=2, B=1, C=2. Logo
3x^2+5x+4(x-1)(x^2+2x+3)=2x-1+x+2x^2+2x+3
Passo 4
Agora integramos termo a termo: Para (\int\frac{2}{x-1}dx=2\ln|x-1|+C_{1}.\
Passo 5
Para integralx+2x^2+2x+3dx, fazemos a troca u=x+1 e completamos o quadrado:
x^2+2x+3=(u)^2+2, x+2=u+1
Então integralx+2x^2+2x+3dx=integralu+1u^2+2du=integraluu^2+2du+integral1u^2+2du
Usando integraluu^2+2du=tfrac12ln(u^2+2) e integral1u^2+2du=tfrac1raiz2arctanl(tfracuraiz2r), obtemos