Calcule utilizando o método de Frações Parciais.
( alpha ) integral 3 x^2+5 x+4x^3+x^2+x-3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 3x^2+5x+4x^3+x^2+x-3,dx usando frações parciais. O conteúdo é integração de função racional, e vamos precisar: fatorar o denominador, decompor em frações parciais e usar integrais básicas como integral1x-adx e integralxx^2+bdx, integral1x^2+bdx.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador x^3+x^2+x+x-3. Testando x=1, temos 1+1+1-3=0, então x-1 é fator. Fazendo a divisão, obtemos
x^3+x^2+x-3=(x-1)(x^2+2x+3)
Agora montamos a decomposição em frações parciais:
3x^2+5x+4(x-1)(x^2+2x+3)=Ax-1+Bx+Cx^2+2x+3

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x^2+2x+3) e igualamos coeficientes:
3x^2+5x+4=A(x^2+2x+3)+(Bx+C)(x-1)
Expandindo e coletando termos em x^2,x, e constante, chegamos ao sistema
A+B=3,2A -B +C=5,3A -C=4
Resolvendo, obtemos A=2, B=1, C=2. Logo
3x^2+5x+4(x-1)(x^2+2x+3)=2x-1+x+2x^2+2x+3

Passo 4

Agora integramos termo a termo: Para (\int\frac{2}{x-1}dx=2\ln|x-1|+C_{1}.\

Passo 5

Para integralx+2x^2+2x+3dx, fazemos a troca u=x+1 e completamos o quadrado:
x^2+2x+3=(u)^2+2, x+2=u+1
Então
integralx+2x^2+2x+3dx=integralu+1u^2+2du=integraluu^2+2du+integral1u^2+2du
Usando integraluu^2+2du=tfrac12ln(u^2+2) e integral1u^2+2du=tfrac1raiz2arctanl(tfracuraiz2r), obtemos
integralx+2x^2+2x+3dx=12lnl((x+1)^2+2r)+1raiz2arctanl(x+1raiz2r)+C2

Passo 6

Somando tudo e juntando constantes, temos a primitiva completa.

Resposta

2\ln\lvert x-1\rvert +\tfrac12\ln\bigl((x+1)^{2}+2\bigr)+\tfrac{1}{\sqrt{2}}\arctan\Bigl(\tfrac{x+1}{\sqrt{2}}\Bigr)+C

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