Calcule utilizando o método de Frações Parciais.
integral 2 xx^2-5 x+6 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral
integral 2xx^2 - 5x + 6 ,dx
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais: precisamos fatorar o denominador e escrever a função racional como soma de termos mais simples.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador quadrático. Note que
x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)
Essa fatoração nos permite montar a decomposição.

Passo 3

Agora montamos a forma de frações parciais:
2x(x-2)(x-3) = Ax-2 + Bx-3
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x-3)
2x = A(x-3) + B(x-2)
Para determinar A e B, fazemos substituições convenientes:
  • Se x=2, então 2cdot2 = A(2-3) + Bcdot0 implica 4 = -A, logo A = -4.
  • Se x=3, então 2cdot3 = Acdot0 + B(3-2) implica 6 = B, logo B = 6.

Passo 4

Com A e B encontrados, reescrevemos a integral e integramos termo a termo:
integral 2xx^2-5x+6 ,dx = integral l(-4x-2 + 6x-3r) ,dx
Usamos o fato de que
integral 1x - a ,dx = ln|x - a| + C
Então
integral -4x-2 ,dx = -4ln|x-2|,
integral 6x-3 ,dx = 6ln|x-3|

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração, obtemos a resposta final.

Resposta

-4\ln|x-2| + 6\ln|x-3| + C

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