Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação
. Este é um caso de equação de primeira ordem que pode ser tratado com o conceito de equação exata e, se não for exata, buscamos um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Identificamos
e
. Calculamos
e
. Como não coincidem, a equação não é exata.
Passo 3
Para buscar um fator integrante, testamos se existe
tal que a expressão
depende apenas de
, ou, para
, se
depende apenas de
.
Passo 4
Calculamos:
que depende só de
. Logo existe um fator integrante
.
Passo 5
O fator integrante é
Passo 6
Multiplicamos a equação original por
. Assim obtemos
Passo 7
Agora a equação
é exata. Buscamos
tal que
e
. Integramos
em
:
Derivando em
:
deve igualar
, logo
e
é constante.
Passo 8
Então a solução implícita é
Podemos simplificar dividindo por
: