Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação (x y^2 + 2),dx + 3x^2y,dy = 0. Este é um caso de equação de primeira ordem que pode ser tratado com o conceito de equação exata e, se não for exata, buscamos um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=x y^2 + 2 e N(x,y)=3 x^2 y. Calculamos partial Mpartial y=2x y e partial Npartial x=6x y. Como não coincidem, a equação não é exata.

Passo 3

Para buscar um fator integrante, testamos se existe mu(x) tal que a expressão
partial M/partial y - partial N/partial xN
depende apenas de x, ou, para mu(y), se
partial N/partial x - partial M/partial yM
depende apenas de y.

Passo 4

Calculamos:
2x y -6x y3x^2 y = -43x,
que depende só de x. Logo existe um fator integrante mu(x).

Passo 5

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral -43x,dxr)=expl(-tfrac43ln|x|r)=x^-tfrac43

Passo 6

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^-4/3. Assim obtemos
widetildeM=x^-4/3(x y^2+2)=x^-1/3y^2+2x^-4/3,
widetildeN=3x^2ycdot x^-4/3=3x^2/3y

Passo 7

Agora a equação widetildeM,dx+widetildeN,dy=0 é exata. Buscamos psi tal que psix=widetildeM e psiy=widetildeN. Integramos widetildeM em x:
psi(x,y)=integral (x^-1/3y^2+2x^-4/3),dx=tfrac32x^2/3y^2-6x^-1/3+h(y)
Derivando em y:
psiy=3x^2/3y+h'(y),
deve igualar widetildeN=3x^2/3y, logo h'(y)=0 e h é constante.

Passo 8

Então a solução implícita é
tfrac32x^2/3y^2-6x^-1/3=C
Podemos simplificar dividindo por tfrac32:
x^2/3y^2-4x^-1/3=C'

Resposta

x^2/3y^2 - 4x^-1/3 = C

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