Partindo-se do divergente do campo vetorial A em coordenadas cartesianas, tem-se
nabla cdot A=partial Axpartial x+partial Aypartial y+partial Azpartial z nabla cdot A=partial[cos (phi) Arho-sen(phi) Aphi]partial x +partial[sen(phi) Arho+cos (phi) Aphi]partial y+partial Azpartial z
chegar à expressão abaixo (divergente)
therefore nabla cdot A=1rho partial(rho Arho)partial rho+1rho partial Aphipartial phi+partial Azpartial z

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. O exercício está falando sobre o divergente de um campo vetorial A, primeiro em coordenadas cartesianas e depois em coordenadas cilíndricas. A matéria envolve cálculo vetorial, especificamente o cálculo de divergentes em diferentes sistemas de coordenadas. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de divergente tanto em coordenadas cartesianas quanto em cilíndricas e entender como transformar entre essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o divergente em coordenadas cartesianas. Se temos um campo vetorial A = Ax i + Ay j + Az k, o divergente é dado por:
nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z
Isso significa que a divergente é a soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às suas respectivas coordenadas.

Passo 3

Agora, o exercício nos apresenta uma expressão do divergente em termos de coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, as componentes do campo vetorial são Arho, Aphi e Az, onde rho é a distância radial, phi é o ângulo azimutal e z é a altura. A relação entre as coordenadas cartesianas (x, y, z) e cilíndricas (rho, phi, z) é dada por:
x = rho cos(phi), y = rho sin(phi), z = z

Passo 4

Vamos expandir a expressão do divergente em coordenadas cartesianas usando as relações de transformação para coordenadas cilíndricas. A expressão dada no exercício é:
nabla cdot A = partial[ cos(phi) Arho - sin(phi) Aphi ]partial x + partial[ sin(phi) Arho + cos(phi) Aphi ]partial y + partial Azpartial z
isso porque Ax = cos(phi) Arho - sin(phi) Aphi e Ay = sin(phi) Arho + cos(phi) Aphi.

Passo 5

Agora, precisamos calcular cada uma das derivadas parciais. Primeiro, vamos calcular partialpartial x e partialpartial y em termos de coordenadas cilíndricas.
Sabemos que:
partialpartial x = cos(phi) partialpartial rho - sin(phi)rho partialpartial phi
partialpartial y = sin(phi) partialpartial rho + cos(phi)rho partialpartial phi
Vamos usar essas relações para substituir nas derivadas da expressão do divergente.

Passo 6

Substituindo as derivadas parciais na expressão do divergente, temos:
nabla cdot A &= ( cos(phi) partialpartial rho - sin(phi)rho partialpartial phi ) [ cos(phi) Arho - sin(phi) Aphi ] &+ ( sin(phi) partialpartial rho + cos(phi)rho partialpartial phi ) [ sin(phi) Arho + cos(phi) Aphi ] &+ partial Azpartial z

Passo 7

Vamos simplificar os termos acima. Multiplicando as expressões, observamos que muitos termos se cancelam devido às identidades trigonométricas cos^2(phi) + sin^2(phi) = 1 e cos(phi)sin(phi) - sin(phi)cos(phi) = 0. Após simplificar, ficamos com:
nabla cdot A = partial Arhopartial rho + 1rho partial Aphipartial phi + Arhorho + partial Azpartial z

Passo 8

Notamos que o termo Arhorho pode ser combinado com partial Arhopartial rho para formar a derivada do produto rho Arho. Assim, escrevemos:
partial Arhopartial rho + Arhorho = 1rho partial (rho Arho)partial rho

Passo 9

Substituindo essa simplificação na expressão do divergente, temos finalmente:
nabla cdot A = 1rho partial (rho Arho)partial rho + 1rho partial Aphipartial phi + partial Azpartial z

Resposta

Portanto, a expressão do divergente em coordenadas cilíndricas é:
nabla cdot A = 1rho partial( rho Arho )partial rho + 1rho partial Aphipartial phi + partial Azpartial z

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