Partindo-se do divergente do campo vetorial
em coordenadas cartesianas, tem-se
chegar à expressão abaixo (divergente)
chegar à expressão abaixo (divergente)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. O exercício está falando sobre o divergente de um campo vetorial
, primeiro em coordenadas cartesianas e depois em coordenadas cilíndricas. A matéria envolve cálculo vetorial, especificamente o cálculo de divergentes em diferentes sistemas de coordenadas. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de divergente tanto em coordenadas cartesianas quanto em cilíndricas e entender como transformar entre essas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o divergente em coordenadas cartesianas. Se temos um campo vetorial
, o divergente é dado por:
Isso significa que a divergente é a soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às suas respectivas coordenadas.
Passo 3
Agora, o exercício nos apresenta uma expressão do divergente em termos de coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, as componentes do campo vetorial são
,
e
, onde
é a distância radial,
é o ângulo azimutal e
é a altura. A relação entre as coordenadas cartesianas
e cilíndricas
é dada por:
Passo 4
Vamos expandir a expressão do divergente em coordenadas cartesianas usando as relações de transformação para coordenadas cilíndricas. A expressão dada no exercício é:
isso porque
e
.
Passo 5
Agora, precisamos calcular cada uma das derivadas parciais. Primeiro, vamos calcular
e
em termos de coordenadas cilíndricas.
Sabemos que:
Vamos usar essas relações para substituir nas derivadas da expressão do divergente.
Passo 6
Substituindo as derivadas parciais na expressão do divergente, temos:
Passo 7
Vamos simplificar os termos acima. Multiplicando as expressões, observamos que muitos termos se cancelam devido às identidades trigonométricas
e
. Após simplificar, ficamos com:
Passo 8
Notamos que o termo
pode ser combinado com
para formar a derivada do produto
. Assim, escrevemos:
Passo 9
Substituindo essa simplificação na expressão do divergente, temos finalmente:
Resposta
Portanto, a expressão do divergente em coordenadas cilíndricas é: