Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:

Passo 1

Neste exercício temos uma equação diferencial de primeira ordem na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, com M(x,y)=3x^2+y e N(x,y)=x+4. O conteúdo é exatidão de equações diferenciais. Vamos testar se é exata e, em seguida, encontrar a função potencial.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
partial Mpartial y=1 e partial Npartial x=1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M(x,y) = 3x^2+y
Integramos em relação a x:
phi(x,y) = integral(3x^2+y),dx = x^3 + xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), usamos
partial phipartial y = x + h'(y) stackrel!= N(x,y) = x+4
Isso implica h'(y)=4.

Passo 5

Integramos h'(y)=4 em relação a y:
h(y)=4y + C1,
mas o C1 pode ser absorvido na constante geral da solução. Assim,
phi(x,y)=x^3 + xy +4y

Passo 6

A solução geral implícita da equação diferencial é dada por
x^3 + xy +4y = C

Resposta

x^3 + x,y + 4y = C

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