Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
Passo 1
Neste exercício temos uma equação diferencial de primeira ordem na forma
, com
e
. O conteúdo é exatidão de equações diferenciais. Vamos testar se é exata e, em seguida, encontrar a função potencial.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
Como
Passo 3
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Para encontrar
, usamos
Isso implica
Passo 5
Integramos
em relação a
:
mas o
Passo 6
A solução geral implícita da equação diferencial é dada por
Resposta
x^3 + x,y + 4y = C