Calcule utilizando substituições trigonométricas
integral0^1 d xraiz9-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^1 dxraiz9 - x^2 usando substituição trigonométrica. O tema é integração de funções com expressão do tipo raiza^2 - x^2, e vamos precisar usar a substituição x = a sintheta.

Passo 2

Como temos raiz9 - x^2, escolhemos x = 3sintheta. Assim, derivando, obtemos:
dx = 3costheta,dtheta
e também
raiz9 - x^2 = raiz9 - 9sin^2theta = 3costheta
Essa escolha simplifica a raiz.

Passo 3

Precisamos ajustar os limites de integração. Quando x = 0, temos 0 = 3sintheta theta = 0. Quando x = 1, temos 1 = 3sintheta theta = arcsintfrac13. Substituindo tudo na integral:
integral0^1 dxraiz9 - x^2 = integral0^arcsin(1/3) 3costheta,dtheta3costheta = integral0^arcsin(1/3) 1,dtheta

Passo 4

Agora é tranquilo: integrar 1 em relação a theta theta. Então
integral0^arcsin(1/3) 1,dtheta = l[thetar]0^arcsin(1/3) = arcsintfrac13 - 0 = arcsintfrac13

Resposta

arcsinl(tfrac13r)

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