Nos exercícios abaixo, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (Considere
constante).
;
Passo 1
O enunciado pede para checar se a função
satisfaz a equação diferencial de segunda ordem homogênea
Vamos precisar calcular as derivadas de
e depois substituir na equação, verificando se o resultado é zero.
Passo 2
Começando pelas derivadas, aplicamos a regra de derivação de exponenciais. Obtemos:
$$f’’(x)=18e{3x}-80e{4x}.
$$
Passo 3
Agora substituímos
,
e
na combinação
:
Passo 4
Agrupando os termos de
e
:
$$f’’-7f’+12f = (18 -7\cdot6 +12\cdot2)e^{3x} +(-80 -7\cdot(-20) +12\cdot(-5))e^{4x}.
$$
Calculando os coeficientes:
Para :
.
Para :
.
Logo toda a combinação é zero.
Calculando os coeficientes:
Para
Para
Logo toda a combinação é zero.
Passo 5
Como a substituição resulta em zero, concluímos que
satisfaz exatamente a equação
.
Resposta
Sim, a função
é solução da equação diferencial dada, pois ao substituir suas derivadas na equação obtém-se zero.