Nos exercícios abaixo, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (Considere c1 constante).
f(x)=2 e^3 x-5 e^4 x;
d^2 yd x^2-7 d yd x+12 y=0

Passo 1

O enunciado pede para checar se a função f(x)=2e^3x-5e^4x satisfaz a equação diferencial de segunda ordem homogênea d^2ydx^2-7dydx+12y=0 Vamos precisar calcular as derivadas de f(x) e depois substituir na equação, verificando se o resultado é zero.

Passo 2

Começando pelas derivadas, aplicamos a regra de derivação de exponenciais. Obtemos:
f'(x)=6e^3x-20e^4x,
$$f’’(x)=18e{3x}-80e{4x}.
$$

Passo 3

Agora substituímos f, f' e f'' na combinação f''-7f'+12f:
f''-7f'+12f = (18e^3x-80e^4x) -7(6e^3x-20e^4x) +12(2e^3x-5e^4x)

Passo 4

Agrupando os termos de e^3x e e^4x:
$$f’’-7f’+12f = (18 -7\cdot6 +12\cdot2)e^{3x} +(-80 -7\cdot(-20) +12\cdot(-5))e^{4x}.
$$
Calculando os coeficientes:
Para f''-7f'+12f = (18 -7cdot6 +12cdot2)e^3x +(-80 -7cdot(-20) +12cdot(-5))e^4x : e^3x.
Para 18-42+24=0: e^4x.
Logo toda a combinação é zero.

Passo 5

Como a substituição resulta em zero, concluímos que f(x) satisfaz exatamente a equação f''-7f'+12f=0.

Resposta

Sim, a função f(x)=2e^3x-5e^4x é solução da equação diferencial dada, pois ao substituir suas derivadas na equação obtém-se zero.

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