Calcule V P P:=P(D+mid T+), V P N:=P(D-mid T-) e interprete.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você está pedindo aqui! O exercício quer que a gente calcule duas probabilidades condicionais:
  1. $ VPP := \mathbb{P}(D+ \mid T+) $ — Isso significa “a probabilidade de ter a doença dado que o teste foi positivo”.
  2. $ VPN := \mathbb{P}(D- \mid T-) $ — Isso quer dizer “a probabilidade de não ter a doença dado que o teste foi negativo”.
Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de probabilidade, especialmente o Teorema de Bayes. Não se preocupe, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada símbolo representa:
  • $ D+ $: Ter a doença.
  • $ D- $: Não ter a doença.
  • $ T+ $: Teste positivo.
  • $ T- $: Teste negativo.
Para calcular $ \mathbb{P}(D+ \mid T+) $ e $ \mathbb{P}(D- \mid T-) $, vamos precisar saber algumas coisas sobre o teste:
  • Sensibilidade (Se): A probabilidade do teste dar positivo quando a pessoa realmente tem a doença, ou seja, $ \mathbb{P}(T+ \mid D+) $.
  • Especificidade (Sp): A probabilidade do teste dar negativo quando a pessoa realmente não tem a doença, ou seja, $ \mathbb{P}(T- \mid D-) $.
  • Prevalência §: A probabilidade de uma pessoa ter a doença na população, $ \mathbb{P}(D+) $. Consequentemente, $ \mathbb{P}(D-) = 1 - P $.
Essas informações geralmente vêm de estudos clínicos ou dados epidemiológicos.

Passo 3

Vamos começar calculando $ \mathbb{P}(D+ \mid T+) $, que é o VPP (Valor Preditivo Positivo).
Pela fórmula do Teorema de Bayes:
P(D+ mid T+)
Mas o que é $ \mathbb{P}(T+) $? É a probabilidade de o teste dar positivo, que pode acontecer de duas maneiras:
  1. A pessoa tem a doença e o teste acerta (sensibilidade).
  2. A pessoa não tem a doença, mas o teste dá falso positivo.
Então,
P(D+ mid T+) = P(T+ mid D+) times P(D+)P(T+)
Sabemos que $ \mathbb{P}(T+ \mid D-) = 1 - Especificidade $, porque é a chance de um falso positivo.

Passo 4

Agora, substituindo os valores na fórmula:
P(D+ mid T+) = Sensibilidade times PSensibilidade times P + (1 - Especificidade) times (1 - P)
Essa expressão nos diz a probabilidade de ter a doença dado que o teste foi positivo, levando em conta a sensibilidade, especificidade e a prevalência da doença na população.

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para $ \mathbb{P}(D- \mid T-) $, que é o VPN (Valor Preditivo Negativo).
Usando o Teorema de Bayes novamente:
P(D- mid T-)
E $ \mathbb{P}(T-) $ é:
P(D- mid T-) = P(T- mid D-) times P(D-)P(T-)
Sabemos que $ \mathbb{P}(T- \mid D+) = 1 - Sensibilidade $, pois é a chance de um falso negativo.

Passo 6

Substituindo na fórmula:
P(D- mid T-) = Especificidade times (1 - P)(1 - Sensibilidade) times P + Especificidade times (1 - P)
Essa expressão nos dá a probabilidade de não ter a doença dado que o teste foi negativo, considerando a especificidade, sensibilidade e a prevalência da doença.

Resposta

Então, temos que:
VPP = P(D+ mid T+) = Sensibilidade times PSensibilidade times P + (1 - Especificidade) times (1 - P)
VPN = P(D- mid T-) = Especificidade times (1 - P)(1 - Sensibilidade) times P + Especificidade times (1 - P)
Interpretação:
  • VPP nos indica a probabilidade real de uma pessoa ter a doença quando o teste dá positivo. Um VPP alto significa que o teste é confiável para confirmar a presença da doença.
  • VPN mostra a probabilidade real de uma pessoa não ter a doença quando o teste dá negativo. Um VPN alto indica que o teste é confiável para descartar a doença.
Esses valores são fundamentais na avaliação da eficácia de um teste diagnóstico, ajudando médicos e pacientes a entenderem melhor os resultados dos exames.

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