Calcule
e interprete.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você está pedindo aqui! O exercício quer que a gente calcule duas probabilidades condicionais:
- $ VPP := \mathbb{P}(D+ \mid T+) $ — Isso significa “a probabilidade de ter a doença dado que o teste foi positivo”.
- $ VPN := \mathbb{P}(D- \mid T-) $ — Isso quer dizer “a probabilidade de não ter a doença dado que o teste foi negativo”.
Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de probabilidade, especialmente o Teorema de Bayes. Não se preocupe, vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada símbolo representa:
- $ D+ $: Ter a doença.
- $ D- $: Não ter a doença.
- $ T+ $: Teste positivo.
- $ T- $: Teste negativo.
Para calcular $ \mathbb{P}(D+ \mid T+) $ e $ \mathbb{P}(D- \mid T-) $, vamos precisar saber algumas coisas sobre o teste:
- Sensibilidade (Se): A probabilidade do teste dar positivo quando a pessoa realmente tem a doença, ou seja, $ \mathbb{P}(T+ \mid D+) $.
- Especificidade (Sp): A probabilidade do teste dar negativo quando a pessoa realmente não tem a doença, ou seja, $ \mathbb{P}(T- \mid D-) $.
- Prevalência §: A probabilidade de uma pessoa ter a doença na população, $ \mathbb{P}(D+) $. Consequentemente, $ \mathbb{P}(D-) = 1 - P $.
Essas informações geralmente vêm de estudos clínicos ou dados epidemiológicos.
Passo 3
Vamos começar calculando $ \mathbb{P}(D+ \mid T+) $, que é o VPP (Valor Preditivo Positivo).
Pela fórmula do Teorema de Bayes:
Mas o que é $ \mathbb{P}(T+) $? É a probabilidade de o teste dar positivo, que pode acontecer de duas maneiras:
- A pessoa tem a doença e o teste acerta (sensibilidade).
- A pessoa não tem a doença, mas o teste dá falso positivo.
Então,
Sabemos que $ \mathbb{P}(T+ \mid D-) = 1 - Especificidade $, porque é a chance de um falso positivo.
Passo 4
Agora, substituindo os valores na fórmula:
Essa expressão nos diz a probabilidade de ter a doença dado que o teste foi positivo, levando em conta a sensibilidade, especificidade e a prevalência da doença na população.
Passo 5
Vamos fazer o mesmo para $ \mathbb{P}(D- \mid T-) $, que é o VPN (Valor Preditivo Negativo).
Usando o Teorema de Bayes novamente:
E $ \mathbb{P}(T-) $ é:
Sabemos que $ \mathbb{P}(T- \mid D+) = 1 - Sensibilidade $, pois é a chance de um falso negativo.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Essa expressão nos dá a probabilidade de não ter a doença dado que o teste foi negativo, considerando a especificidade, sensibilidade e a prevalência da doença.
Resposta
Então, temos que:
Interpretação:
-
VPP nos indica a probabilidade real de uma pessoa ter a doença quando o teste dá positivo. Um VPP alto significa que o teste é confiável para confirmar a presença da doença.
-
VPN mostra a probabilidade real de uma pessoa não ter a doença quando o teste dá negativo. Um VPN alto indica que o teste é confiável para descartar a doença.
Esses valores são fundamentais na avaliação da eficácia de um teste diagnóstico, ajudando médicos e pacientes a entenderem melhor os resultados dos exames.