Calcule o valor aproximado de I=integral0^0,6 d x1+x com erro inferior a 10^-4, usando a regra de trapézios e Simpson (repetida).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral $ I=integral0^0,6dx1+x usandos as fórmulas compostas da regra do trapézio e de Simpson, garantindo erro menor que 10^-4. Vamos usar teoria de análise de erro e depois calcular as somas.

Passo 2

Para a regra do trapézio composta, o erro satisfaz a desigualdade
|ET| <= (b-a)^312,n^2maxxin[0,0.6]|f''(x)|
Aqui f(x)=1/(1+x), logo
f''(x)=2(1+x)^-3,
que atinge o máximo em x=0, isto é max|f''|=2.

Passo 3

Queremos |ET|<10^-4, então
(0.6)^312,n^2cdot2<10^-4 Longrightarrow n^2>2cdot0.6^312cdot10^-4=360
Portanto basta escolher nT=19 (ou para facilitar as contas nT=20). Vamos usar nT=20. O passo é hT=(0.6-0)/20=0.03.

Passo 4

Aplicando a fórmula do trapézio composto:
ITapprox hTl[tfracf(0)+f(0.6)2 + sumi=1^19f(0+0.03i)r]
Calculando f(xi)=1/(1+xi) e somando, obtemos numericamente
ITapprox0.4700496
que de fato difere do valor exato ln1.6approx0.4700036 em menos de 5times10^-5<10^-4.

Passo 5

Para a regra de Simpson composta, o erro satisfaz
|ES|<=(b-a)^5180,n^4maxxin[0,0.6]|f^(4)(x)|
Como para f(x)=(1+x)^-1 vale
f^(4)(x)=24(1+x)^-5,
temos max|f^(4)|=24.

Passo 6

Queremos
(0.6)^5180,n^4cdot24<10^-4 Longrightarrow n^4>24cdot0.6^5180cdot10^-4approx103.7
Logo basta nS=4 (deve ser par). O passo é hS=0.6/4=0.15.

Passo 7

Na regra de Simpson composta:
ISapproxhS3l[f(0)+4f(0.15)+2f(0.3)+4f(0.45)+f(0.6)r]
Substituindo f(x)=1/(1+x) e calculando, obtemos
ISapprox0.4700172
Com isso o erro é cerca de 1.4times10^-5<10^-4.

Resposta

Regra do trapézio composta (n=20): I_T\approx0.4700496\nRegra de Simpson composta (n=4): I_S\approx0.4700172

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