Calcule o valor aproximado de
com erro inferior a
, usando a regra de trapézios e Simpson (repetida).
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral $
usandos as fórmulas compostas da regra do trapézio e de Simpson, garantindo erro menor que
. Vamos usar teoria de análise de erro e depois calcular as somas.
Passo 2
Para a regra do trapézio composta, o erro satisfaz a desigualdade
Aqui
, logo
que atinge o máximo em
, isto é
.
Passo 3
Queremos
, então
Portanto basta escolher
(ou para facilitar as contas
). Vamos usar
. O passo é
.
Passo 4
Aplicando a fórmula do trapézio composto:
Calculando
e somando, obtemos numericamente
que de fato difere do valor exato
em menos de
.
Passo 5
Para a regra de Simpson composta, o erro satisfaz
Como para
vale
temos
.
Passo 6
Queremos
Logo basta
(deve ser par). O passo é
.
Passo 7
Na regra de Simpson composta:
Substituindo
e calculando, obtemos
Com isso o erro é cerca de
.
Resposta
Regra do trapézio composta (n=20): I_T\approx0.4700496\nRegra de Simpson composta (n=4): I_S\approx0.4700172