Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas:
(b)
, sendo
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre o domínio
. O conteúdo é mudança para coordenadas polares, onde vamos usar o jacobiano e os limites apropriados em
e
.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
,
. Então
,
, e o elemento de área
vira
. Como
é o quarto de coroa circular entre
e
, com
, a integral fica:
Passo 3
A integral em
é trivial e dá um fator
. Sobrou a integral em
:
Para resolver, usamos integração por partes: seja
e
. Então
e
. Logo
Passo 4
Avaliando de
até
e multiplicando pelo fator
, obtemos
que pode ser reorganizado para a forma final.
Passo 5
Ao simplificar, ficamos com