Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas:
(b) integral duplaD ln (x^2+y^2) d x d y, sendo D=(x, y) / x >= 0, y >= 0, a^2 <= x^2+y^2 <= b^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de ln(x^2+y^2) sobre o domínio D=(x,y)mid x>=0,,y>=0,,a^2<= x^2+y^2<= b^2. O conteúdo é mudança para coordenadas polares, onde vamos usar o jacobiano e os limites apropriados em r e theta.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta, y=rsintheta. Então x^2+y^2=r^2, ln(x^2+y^2)=ln(r^2)=2ln r, e o elemento de área dx,dy vira r,dr,dtheta. Como D é o quarto de coroa circular entre r=a e r=b, com thetain[0,tfracpi2], a integral fica:
integral duplaDln(x^2+y^2),dx,dy=integral0^pi2integrala^b2ln r;r,dr,dtheta

Passo 3

A integral em theta é trivial e dá um fator tfracpi2. Sobrou a integral em r:
integrala^b2rln r,dr
Para resolver, usamos integração por partes: seja u=ln r e dv=2r,dr. Então du=tfrac1r,dr e v=r^2. Logo
integral2rln r,dr=r^2ln r-integral r^2cdottfrac1r,dr=r^2ln r-integral r,dr=r^2ln r-tfracr^22+c

Passo 4

Avaliando de r=a até r=b e multiplicando pelo fator tfracpi2, obtemos
integral duplaDln(x^2+y^2),dx,dy=pi2l[b^2ln b-tfracb^22-l(a^2ln a-tfraca^22r)r]
que pode ser reorganizado para a forma final.

Passo 5

Ao simplificar, ficamos com
pi2l(b^2ln b - a^2ln ar)-pi4l(b^2 - a^2r)

Resposta

pi2l(b^2ln b - a^2ln ar)-pi4(b^2 - a^2)

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