Calcule o volume do sólido limitado:
(b) pelo parabolóide z=x^2+y^2 e pelo plano z=x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo paraboloide z = x^2+y^2 por baixo e pelo plano z = x por cima. Vamos usar integração dupla e coordenadas polares para facilitar a conta.

Passo 2

Para encontrar a projeção D desse sólido no plano xy, igualamos as superfícies: x^2+y^2 = x. Em coordenadas polares x = rcostheta e y = rsintheta, isso vira r^2 = rcostheta, ou seja r = costheta (com r>=0). Como r<=costheta e r>=0, precisamos de costheta>=0, logo thetain[-tfracpi2,tfracpi2] e rin[0,costheta].

Passo 3

O volume é dado por V = integral duplaD(,ztopo - zfundo,),dA = integral duplaDl(x - (x^2+y^2)r),dA. Em polares ficam x = rcostheta, x^2+y^2=r^2 e dA = r,dr,dtheta. Assim
V = integraltheta=-tfracpi2^tfracpi2 integralr=0^costheta l(rcostheta - r^2r),r,dr,dtheta = integral-tfracpi2^tfracpi2 integral0^costheta l(r^2costheta - r^3r),dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^costheta l(r^2costheta - r^3r),dr = costheta r^33|0^costheta - r^44|0^costheta = cos^4theta3 - cos^4theta4 = cos^4theta12

Passo 5

Agora o volume é
V = integral-tfracpi2^tfracpi2 cos^4theta12,dtheta = 112 cdot 2 integral0^tfracpi2 cos^4theta,dtheta = 16 integral0^tfracpi2 cos^4theta,dtheta

Passo 6

E sabemos que integral0^tfracpi2 cos^4theta,dtheta = tfrac3pi16. Logo
$$V = \frac{1}{6} \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{96} = \frac{\pi}{32}.
$$

Resposta

V = pi32.

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