Determine o comprimento de arco da curva gamma:[0,1] R^2 dada por gamma(t)=(2 t^2, t^3).

Passo 1

Resumo do problema: temos a curva paramétrica gamma:[0,1]toR^2 dada por gamma(t)=(2t^2,,t^3) e precisamos calcular o comprimento de arco. O conteúdo aqui é comprimento de curva em coordenadas paramétricas, usando a fórmula
L=integrala^b|gamma'(t)|,dt
Para resolver, primeiro vamos obter a derivada gamma'(t).

Passo 2

Calculando a derivada e o integrando: temos
gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(4t,,3t^2)
Logo o módulo é
|gamma'(t)|=raiz(4t)^2+(3t^2)^2=raiz16t^2+9t^4=traiz16+9t^2
Substituindo na fórmula de comprimento,
L=integral0^1traiz16+9t^2,dt

Passo 3

Calculando a integral por substituição: defina u=16+9t^2, então du=18t,dt e t,dt=du/18. Quando t=0, u=16; quando t=1, u=25. A integral vira
L=integral0^1traiz16+9t^2,dt=118integral16^25u^1/2,du =118cdot23u^3/2|16^25 =127l(25^3/2-16^3/2r)
Calculando os valores, 25^3/2=125 e 16^3/2=64, resulta em
L=127(125-64)=6127

Resposta

6127

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