Seja f: R R dada por x^2 cos (x^3). Determine a série de Maclaurin para f e use-a para determinar o valor de f^(14)(0).

Passo 1

O enunciado pede para achar a série de Maclaurin de f(x)=x^2cos(x^3) e, a partir dela, calcular f^(14)(0). Vamos usar a expansão em série de Taylor de cos t e depois encaixar t=x^3.

Passo 2

A expansão de Maclaurin de cos t é dada por
cos t = sumk=0^infty (-1)^k t^2k(2k)!
Aqui vamos substituir t=x^3, ficando
cos(x^3) = sumk=0^infty (-1)^k x^6k(2k)!

Passo 3

Multiplicando por x^2, obtemos a série de Maclaurin de f(x):
f(x)=x^2cos(x^3)=sumk=0^infty(-1)^k x^6k+2(2k)!
Isso significa que o coeficiente an em f(x)=sum an x^n é não nulo só quando existe k tal que n=6k+2, e vale a6k+2=(-1)^k/(2k)!.

Passo 4

Para calcular f^(14)(0), identificamos n=14 no formato 14=6k+2. Isso dá 6k=12 e portanto k=2. O coeficiente correspondente é
a14=(-1)^21(2cdot2)!=14!=124
Como a14=f^(14)(0)/14!, temos
f^(14)(0)=14!cdot a14=14!24

Passo 5

Podemos deixar o resultado exato em termos de fatorial ou calcular numericamente. Mantendo em fatorial, f^(14)(0)=14!/24, que equivale a 3632428800 se quisermos o valor inteiro.

Resposta

f^(14)(0)=dfrac14!24=3632428800

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