Sejam as seguintes integrais
Calcule um valor aproximado usando:
iv) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a
, usando a regra do trapézio repetida.
Calcule um valor aproximado usando:
iv) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a
Passo 1
A questão pede o número de subintervalos n na regra do trapézio composta para que o erro seja inferior a 10^{-5} em cada uma das integrais. O conteúdo usado é o limite de erro da regra do trapézio composta, dado por
Vamos precisar encontrar f’’(x), determinar seu máximo absoluto no intervalo e, então, isolar n para satisfazer E_T<10^{-5}.
Passo 2
Para a integral (a): f(x)=1−e^{-2x}. Então
logo |f’’(x)|=4e^{-2x} atinge o máximo em x=0, M_2=4. O intervalo é [0,4], logo b−a=4. Substituindo,
então
[
n2\ge\frac{64}{3\times10{-5}}\approx2{,}1333\times10^6\quad\Rightarrow\quad n\ge1461.
n2\ge\frac{64}{3\times10{-5}}\approx2{,}1333\times10^6\quad\Rightarrow\quad n\ge1461.
Passo 3
Para (b): f(x)=6+3\cos x. Temos
logo |f’’(x)|\le3=M_2. O intervalo é [0,\pi/2], b−a=\pi/2. Então
portanto
[
n2\ge\frac{\pi3}{32\times10{-5}}\approx9{,}6895\times104\quad\Rightarrow\quad n\ge312.
n2\ge\frac{\pi3}{32\times10{-5}}\approx9{,}6895\times104\quad\Rightarrow\quad n\ge312.
Passo 4
Para ©: f(x)=1−x−4x3+2x5. Calcula-se
No intervalo [−2,4], o máximo de |f’’| ocorre em x=4, dando M_2=2464. Aqui b−a=6. Logo
implicando
[
n2\ge\frac{44352}{10{-5}}=4{,}4352\times10^9\quad\Rightarrow\quad n\ge66626.
n2\ge\frac{44352}{10{-5}}=4{,}4352\times10^9\quad\Rightarrow\quad n\ge66626.
Passo 5
Para (d): f(x)=x^{-1/2}. Então
cujo máximo no intervalo [2,14] ocorre em x=2, dando M_2=\tfrac{3}{4}2^{-5/2}\approx0{,}13258. Como b−a=12, temos
logo
[
n2\ge\frac{19.082}{10{-5}}=1.9082\times10^6\quad\Rightarrow\quad n\ge1382.
n2\ge\frac{19.082}{10{-5}}=1.9082\times10^6\quad\Rightarrow\quad n\ge1382.
Resposta
n_a=1461, n_b=312, n_c=66626, n_d=1382