Sejam as seguintes integrais
(a) integral0^4(1-e^-2 x) d x
(b) integral0^pi / 2(6+3 cos x) d x
(c) integral-2^4(1-x-4 x^3+2 x^5) d x
(d) integral2^14 d xraizx
Calcule um valor aproximado usando:
iv) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10^-5, usando a regra do trapézio repetida.

Passo 1

A questão pede o número de subintervalos n na regra do trapézio composta para que o erro seja inferior a 10^{-5} em cada uma das integrais. O conteúdo usado é o limite de erro da regra do trapézio composta, dado por
ET <= (b-a)^312,n^2,maxxin[a,b]|f''(x)|
Vamos precisar encontrar f’’(x), determinar seu máximo absoluto no intervalo e, então, isolar n para satisfazer E_T<10^{-5}.

Passo 2

Para a integral (a): f(x)=1−e^{-2x}. Então
f''(x)=-4e^-2x,
logo |f’’(x)|=4e^{-2x} atinge o máximo em x=0, M_2=4. O intervalo é [0,4], logo b−a=4. Substituindo,
10^-5>=4^312,n^2cdot4=643,n^2,
então
[
n2\ge\frac{64}{3\times10{-5}}\approx2{,}1333\times10^6\quad\Rightarrow\quad n\ge1461.

Passo 3

Para (b): f(x)=6+3\cos x. Temos
f''(x)=-3cos x,
logo |f’’(x)|\le3=M_2. O intervalo é [0,\pi/2], b−a=\pi/2. Então
10^-5>=(pi/2)^312,n^2cdot3=pi^332,n^2,
portanto
[
n2\ge\frac{\pi3}{32\times10{-5}}\approx9{,}6895\times104\quad\Rightarrow\quad n\ge312.

Passo 4

Para ©: f(x)=1−x−4x3+2x5. Calcula-se
f''(x)=40x^3−24x=x(40x^2−24)
No intervalo [−2,4], o máximo de |f’’| ocorre em x=4, dando M_2=2464. Aqui b−a=6. Logo
10^-5>=6^312,n^2cdot2464=44352n^2,
implicando
[
n2\ge\frac{44352}{10{-5}}=4{,}4352\times10^9\quad\Rightarrow\quad n\ge66626.

Passo 5

Para (d): f(x)=x^{-1/2}. Então
f''(x)=34x^-5/2,
cujo máximo no intervalo [2,14] ocorre em x=2, dando M_2=\tfrac{3}{4}2^{-5/2}\approx0{,}13258. Como b−a=12, temos
10^-5>=12^312,n^2cdot0.13258=19.082n^2,
logo
[
n2\ge\frac{19.082}{10{-5}}=1.9082\times10^6\quad\Rightarrow\quad n\ge1382.

Resposta

n_a=1461, n_b=312, n_c=66626, n_d=1382

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