Calcule um valor aproximado para
e avalie o erro.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: aproximar o valor de
e avaliar o erro dessa aproximação.
Informações relevantes dadas (explícitas ou óbvias): é um número próximo de
(porque
), e sabemos que
. Essas observações serão úteis para fazer uma aproximação rápida e controlarmos o erro.
Informações relevantes dadas (explícitas ou óbvias):
Passo 2
Escolhemos começar por uma aproximação por linearização (diferencial) porque é um método simples, rápido para usar na prova e dá um erro fácil de estimar quando o ponto de expansão é bem próximo do valor desejado. Vou explicar a ideia antes de aplicar: seja
. A linearização de
em torno de um ponto
diz que, para
pequeno,
Aqui
é a derivada de
em
, que mede a inclinação da reta tangente — a ideia é aproximar a curva por essa reta quando
é pequeno. Agora calculamos
passo a passo:
Derivando usamos a regra potência:
. Assim
Derivando
No nosso caso tomamos
(porque
é conhecido) e
.
Passo 3
Aplicando a linearização em
: primeiro calcule
e
:
Como
então
. Assim
Agora com
,
Portanto a aproximação linear fica
Essa fração
é uma forma exata da aproximação linear; em decimal:
(usarei depois mais casas decimais se quisermos refinar).
Passo 4
Agora vamos estimar o erro da linearização. Usamos o resto de Taylor de segunda ordem para
em torno de
:
existe entre
e
tal que
existe
onde
é a derivada segunda. Calculamos
explicitamente: partindo de
,
O sinal negativo apenas indica que a concavidade é negativa; para controlar o erro usamos a magnitude
. Como
e a função
cresce quando
diminui, no intervalo entre
e
o máximo de
ocorre em
. Logo um majorante para o erro é
Passo 5
Agora calculamos numericamente esse limite superior. Primeiro obtemos
aproximado pela nossa aproximação inicial: já temos
. Para calcular
usamos
e invertendo:
Tomando
(o valor da linearização) temos
Portanto
Substituindo no majorante do erro e lembrando
(portanto
),
Arredondando de forma conservadora, podemos escrever
Isso significa que a aproximação linear
está a menos de
do valor exato.
Passo 6
Se quisermos uma aproximação ainda mais precisa (útil para conferir) podemos fazer uma iteração de Newton para resolver
. A iteração de Newton para raízes da função
é
Tomando
(ou
), uma iteração já dá
A correção entre a linearização
e a iteração de Newton é da ordem de
, ou seja está dentro do limite de erro que estimamos. Podemos, portanto, apresentar como boa aproximação
com erro absoluto menor que
.
Resposta
Erro absoluto