Calcule um valor aproximado para \sqrt[3]{7,9} e avalie o erro.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: aproximar o valor de \sqrt[3]{7,9} e avaliar o erro dessa aproximação.
Informações relevantes dadas (explícitas ou óbvias): \,7,9 é um número próximo de \,8 (porque 8-7,9=0,1), e sabemos que \sqrt[3]{8}=2. Essas observações serão úteis para fazer uma aproximação rápida e controlarmos o erro.

Passo 2

Escolhemos começar por uma aproximação por linearização (diferencial) porque é um método simples, rápido para usar na prova e dá um erro fácil de estimar quando o ponto de expansão é bem próximo do valor desejado. Vou explicar a ideia antes de aplicar: seja f(x)=x^{1/3}. A linearização de f em torno de um ponto a diz que, para h pequeno,
f(a+h)\approx f(a)+f'(a)\,h.
Aqui f'(a) é a derivada de f em a, que mede a inclinação da reta tangente — a ideia é aproximar a curva por essa reta quando h é pequeno. Agora calculamos f'(x) passo a passo:
Derivando f(x)=x^{1/3} usamos a regra potência: \dfrac{d}{dx} x^{n}=n x^{n-1}. Assim
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
No nosso caso tomamos a=8 (porque \sqrt[3]{8}=2 é conhecido) e h=7,9-8=-0,1.

Passo 3

Aplicando a linearização em a=8: primeiro calcule f(a) e f'(a):
f(8)=\sqrt[3]{8}=2, \qquad f'(8)=\frac{1}{3}\,8^{-2/3}.
Como 8^{1/3}=2 então 8^{2/3}=4. Assim
f'(8)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.
Agora com h=-0,1,
\Delta f \approx f'(8)\,h=\frac{1}{12}\cdot(-0,1)=-\frac{1}{120}.
Portanto a aproximação linear fica
\sqrt[3]{7,9}=f(8+h)\approx 2-\frac{1}{120}=\frac{239}{120}\approx 1,991666\ldots
Essa fração \frac{239}{120} é uma forma exata da aproximação linear; em decimal: 1,991666\ldots (usarei depois mais casas decimais se quisermos refinar).

Passo 4

Agora vamos estimar o erro da linearização. Usamos o resto de Taylor de segunda ordem para f em torno de a:
existe \xi entre a e a+h tal que
R_2=\frac{1}{2} f''(\xi)\,h^2,
onde f'' é a derivada segunda. Calculamos f''(x) explicitamente: partindo de f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3},
f''(x)=\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)x^{-5/3}=-\frac{2}{9}x^{-5/3}.
O sinal negativo apenas indica que a concavidade é negativa; para controlar o erro usamos a magnitude |R_2|=\frac{1}{2}|f''(\xi)|\,h^2. Como |f''(x)|=\frac{2}{9}x^{-5/3} e a função x^{-5/3} cresce quando x diminui, no intervalo entre 7,9 e 8 o máximo de |f''(x)| ocorre em x=7,9. Logo um majorante para o erro é
|R_2|\le \frac{1}{2}\left(\frac{2}{9}\,7,9^{-5/3}\right)h^2=\frac{1}{9}\,7,9^{-5/3}\,h^2.

Passo 5

Agora calculamos numericamente esse limite superior. Primeiro obtemos 7,9^{1/3} aproximado pela nossa aproximação inicial: já temos \sqrt[3]{7,9}\approx 1,991666\ldots. Para calcular 7,9^{-5/3} usamos (7,9^{1/3})^5=7,9^{5/3} e invertendo:
7,9^{-5/3}=\frac{1}{(7,9^{1/3})^5}.
Tomando 7,9^{1/3}\approx 1,9916666667 (o valor da linearização) temos
(7,9^{1/3})^2\approx 3,9667361111, \qquad (7,9^{1/3})^5=(7,9^{1/3})^2\cdot(7,9^{1/3})^3\approx 3,9667361111\cdot 7,9\approx 31,347267.
Portanto
7,9^{-5/3}\approx \frac{1}{31,347267}\approx 0,03189.
Substituindo no majorante do erro e lembrando h=-0,1 (portanto h^2=0,01),
|R_2|\le \frac{1}{9}\cdot 0,03189\cdot 0,01 \approx 0,111111\cdot 0,03189\cdot 0,01 \approx 0,00003543.
Arredondando de forma conservadora, podemos escrever
|R_2|\le 0,000036.
Isso significa que a aproximação linear \dfrac{239}{120} está a menos de 3,6\times 10^{-5} do valor exato.

Passo 6

Se quisermos uma aproximação ainda mais precisa (útil para conferir) podemos fazer uma iteração de Newton para resolver x^3-7,9=0. A iteração de Newton para raízes da função g(x)=x^3-7,9 é
x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)}=x_n-\frac{x_n^3-7,9}{3x_n^2}=\frac{2x_n+\dfrac{7,9}{x_n^2}}{3}.
Tomando x_0=2 (ou x_0=\frac{239}{120}), uma iteração já dá
x_1=\frac{2\cdot\frac{239}{120}+\dfrac{7,9}{\left(\frac{239}{120}\right)^2}}{3}\approx 1,9916378\ldots
A correção entre a linearização 1,991666\ldots e a iteração de Newton é da ordem de 2{,}9\times 10^{-5}, ou seja está dentro do limite de erro que estimamos. Podemos, portanto, apresentar como boa aproximação
\sqrt[3]{7,9}\approx 1,9916378
com erro absoluto menor que 0,000036.

Resposta

\sqrt[3]{7,9}\approx 1,9916378
Erro absoluto \le 0,000036

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