Use o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
, em torno de
, para aproximar
e estime o erro.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Usar o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
em torno de para aproximar . - Estimar o erro dessa aproximação.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de expansão (centro) é
. - O ponto onde queremos aproximar é
. - Ordem do polinômio:
.
Passo 2
Lembrando a fórmula do polinômio de Taylor de ordem
centrado em
:
Aqui
significa a
-ésima derivada de
avaliada em
. Vamos aplicar essa fórmula com
.
Passo 3
Calcular as derivadas de
até a ordem 3 e avaliá‑las em
.
Derivadas:
Avaliações em
(sabendo
):
Passo 4
Construir o polinômio de Taylor de ordem 3, substituindo os valores encontrados:
onde
. Podemos fatorar
:
Passo 5
Calcular
para
:
Substituir
em
:
Passo 6
Avaliar numericamente passo a passo (valores aproximados):
Calcular o colchete:
Multiplicando por
:
Portanto a aproximação numérica é
(observe que
).
Passo 7
Estimar o erro usando a forma de Lagrange do resto. Para o polinômio de ordem
,
para algum
entre
e
. Aqui
, então
com
entre
e
.
Como
, um limite superior para o erro absoluto é
Calculemos numericamente esse limite:
Logo o erro absoluto é no máximo aproximadamente
. A diferença real entre o valor exato
e a aproximação encontrada é
que está dentro do limite estimado.