Use o polinômio de Taylor de ordem 3 da função f(x)=\cos x, em torno de x=\frac{\pi}{4}, para aproximar f\left(\frac{\pi}{3}\right) e estime o erro.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Usar o polinômio de Taylor de ordem 3 da função \cos x em torno de x=\frac{\pi}{4} para aproximar f\!\left(\frac{\pi}{3}\right).
  • Estimar o erro dessa aproximação.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\cos x.
  • O ponto de expansão (centro) é a=\frac{\pi}{4}.
  • O ponto onde queremos aproximar é x=\frac{\pi}{3}.
  • Ordem do polinômio: 3.

Passo 2

Lembrando a fórmula do polinômio de Taylor de ordem n centrado em a:
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.
Aqui f^{(k)}(a) significa a k-ésima derivada de f avaliada em x=a. Vamos aplicar essa fórmula com n=3.

Passo 3

Calcular as derivadas de f(x)=\cos x até a ordem 3 e avaliá‑las em a=\frac{\pi}{4}.
Derivadas:
f(x)=\cos x, \qquad f'(x)=-\sin x, \qquad f''(x)=-\cos x, \qquad f'''(x)=\sin x.
Avaliações em a=\frac{\pi}{4} (sabendo \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}):
f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},
f'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},
f''\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},
f'''\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Construir o polinômio de Taylor de ordem 3, substituindo os valores encontrados:
T_3(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} +\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)(x-a) +\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\frac{(x-a)^2}{2!} +\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\frac{(x-a)^3}{3!},
onde a=\frac{\pi}{4}. Podemos fatorar \frac{\sqrt{2}}{2}:
T_3(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\!\left[\,1-(x-a)-\frac{(x-a)^2}{2}+\frac{(x-a)^3}{6}\right].

Passo 5

Calcular h=x-a para x=\frac{\pi}{3}:
h=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{12}.
Substituir x-a=h=\frac{\pi}{12} em T_3:
T_3\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\!\left[\,1-\frac{\pi}{12}-\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{12}\right)^2+\frac{1}{6}\left(\frac{\pi}{12}\right)^3\right].

Passo 6

Avaliar numericamente passo a passo (valores aproximados):
h=\frac{\pi}{12}\approx 0,2617993878,
h^2\approx 0,06853891945,
h^3\approx 0,01792546526.
Calcular o colchete:
1-h-\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{6}\approx 1-0,2617993878-0,03426945973+0,002987577543\approx 0,7069187300.
Multiplicando por \dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7071067812:
T_3\!\left(\frac{\pi}{3}\right)\approx 0,7071067812\times 0,7069187300\approx 0,4998669226.
Portanto a aproximação numérica é \approx 0,4998669226 (observe que \cos\frac{\pi}{3}=0,5).

Passo 7

Estimar o erro usando a forma de Lagrange do resto. Para o polinômio de ordem 3,
R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-a)^4
para algum \xi entre a e x. Aqui f^{(4)}(x)=\cos x, então
R_3\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\cos \xi}{24}\left(\frac{\pi}{12}\right)^4,
com \xi entre \frac{\pi}{4} e \frac{\pi}{3}.
Como |\cos \xi|\le 1, um limite superior para o erro absoluto é
\left|R_3\!\left(\frac{\pi}{3}\right)\right|\le \frac{1}{24}\left(\frac{\pi}{12}\right)^4.
Calculemos numericamente esse limite:
\left(\frac{\pi}{12}\right)^4\approx 0,00469576617,
\frac{1}{24}\left(\frac{\pi}{12}\right)^4\approx 0,00019565609.
Logo o erro absoluto é no máximo aproximadamente 0,0001956561. A diferença real entre o valor exato 0,5 e a aproximação encontrada é
\left|0,5-0,4998669226\right|\approx 0,0001330774,
que está dentro do limite estimado.

Resposta

T_3\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\approx 0,4998669226
\left|R_3\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right|\le \dfrac{1}{24}\left(\dfrac{\pi}{12}\right)^4\approx 0,0001956561

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