Considere a Função f(x, y)=\ln \left(36-4 x^{2}-8 y^{2}\right)
a) Esboce o domínio de f(x, y).
b) Determine a derivada direcional de f no ponto P(2,4) na direção do vetor \vec{u}=\langle-3,2\rangle
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=\ln\big(36-4x^{2}-8y^{2}\big) e pede duas coisas:
(a) Esboçar o domínio de f.
(b) Determinar a derivada direcional de f no ponto P(2,4) na direção do vetor \vec{u}=\langle -3,2\rangle.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
A expressão dentro do logaritmo é 36-4x^{2}-8y^{2}.
O ponto onde querem a derivada direcional é P(2,4).
A direção é dada pelo vetor \vec{u}=\langle -3,2\rangle.
Passo 2
Vamos entender quais pontos (x,y) são permitidos no domínio de f. O logaritmo natural \ln(t) só está definido para t>0. Portanto precisamos da condição
36-4x^{2}-8y^{2}>0.
Essa desigualdade define o domínio. Faço uma manipulação algébrica para reconhecer a forma geométrica:
Interpretação geométrica (ou seja, como esboçar o domínio): a desigualdade
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4{,}5}<1
é a interior de uma elipse centrada na origem. Os semi-eixos são:
ao longo do eixo x: a=3, porque \frac{x^{2}}{3^{2}};
ao longo do eixo y: b=\sqrt{4{,}5}=\frac{3}{\sqrt{2}} (pois 4{,}5=9/2).
Portanto o domínio é a região interior (aberta) dessa elipse: centro em (0,0), interceptos com os eixos em x=\pm 3 e y=\pm \tfrac{3}{\sqrt{2}}. Importante: a desigualdade é estrita (<1), então a fronteira (a própria elipse) não pertence ao domínio — não podemos incluir pontos onde 36-4x^{2}-8y^{2}=0 porque aí o argumento do \ln seria zero.
Se fosse desenhar no papel: faço uma elipse alongada no eixo x com semi-eixo horizontal 3 e semi-eixo vertical aproximadamente 2{,}121 (que é 3/\sqrt{2}), e colore o interior sem incluir a borda.
Passo 4
Agora a derivada direcional no ponto pedido. Primeiro lembro a definição útil (e como eu faria na prova):
Se f é diferenciável num ponto P, a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \hat{u} é
D_{\hat{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\hat{u},
onde \nabla f é o gradiente de f e \hat{u} é o vetor direção normalizado. Para funções do tipo f=\ln(g) com g diferenciável e g>0, vale a regra da cadeia para gradiente:
\nabla f(x,y)=\frac{1}{g(x,y)}\nabla g(x,y).
No nosso caso g(x,y)=36-4x^{2}-8y^{2}. Calculo as derivadas parciais de g:
Mas antes de usar essa expressão no ponto P preciso verificar se P pertence ao domínio (pois f e o gradiente só existem onde o argumento do \ln é positivo).
O resultado é -108, que é menor que zero. Portanto g(2,4)\le 0 (na verdade é negativo), o que significa que f(2,4)=\ln(g(2,4)) não está definido. Consequência direta: f não está definido em P, logo não tem gradiente nem derivada direcional em P.
Em outras palavras: não faz sentido aplicar a fórmula do gradiente nem computar D_{\hat{u}}f(P) porque P não pertence ao domínio de f. Não existe valor de derivada direcional em P para essa função.
Resposta
(a) Domínio: \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 4x^{2}+8y^{2}<36\}, ou equivalentemente \displaystyle \left\{(x,y)\;\Big|\;\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4{,}5}<1\right\} (interior da elipse centrada em (0,0) com semi-eixos 3 e \tfrac{3}{\sqrt{2}}).\n
(b) A derivada direcional em P(2,4) não existe, porque P(2,4) não pertence ao domínio de f (o argumento do \ln em P é negativo).