Use o polinômio de Taylor de ordem 5 da função f(x)=e^{x}, em torno de x=0, para aproximar f\left(\frac{1}{2}\right) e estime o erro.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: aproximar f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) usando o polinômio de Taylor de ordem 5 de f(x)=e^{x} em torno de x=0 (ou seja, o polinômio de Maclaurin de grau 5) e estimar o erro dessa aproximação.
Informações dadas/úteis: a função é f(x)=e^{x}; queremos a aproximação em x=\tfrac{1}{2}; usamos o polinômio de Taylor centrado em 0 de ordem 5.
Passo 2
Vamos recordar a fórmula do polinômio de Taylor (Maclaurin, quando centrado em 0): para uma função infinitamente diferenciável,
onde f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em 0, e k! é o fatorial de k. Aqui cada derivada de e^{x} é e^{x} novamente; em particular f^{(k)}(0)=e^{0}=1 para todo k. Portanto o polinômio de ordem 5 fica
Se você preferir decimal (útil na prova para comparar), faça a divisão: \dfrac{6331}{3840}\approx 1,6486979167.]
Passo 4
Agora estimamos o erro. Usamos a forma de Lagrange do resto (erro) do polinômio de Taylor: existe \xi entre 0 e x tal que
R_{5}(x)=\frac{f^{(6)}(\xi)}{6!}\,x^{6}.
Explicação da fórmula: R_{5}(x) é o termo que falta para a série completa; f^{(6)}(\xi) é a sexta derivada avaliada em algum ponto \xi entre o centro 0 e o ponto de avaliação x; e 6!=720. No nosso caso f^{(6)}(t)=e^{t} para todo t, então
(uma estimativa mais grosseira: como e^{1/2}<2, já teríamos \left|R_{5}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\right|<\dfrac{2}{46080}=\dfrac{1}{23040}\approx 4,34\times10^{-5}.)
Passo 6
Resumo prático para a prova: o polinômio de grau 5 em 0 dá a aproximação \dfrac{6331}{3840} para e^{1/2}, que é aproximadamente 1,6486979, e o erro absoluto dessa aproximação é no máximo \dfrac{e^{1/2}}{46080}, cerca de 3,58\times10^{-5}. Boa notícia: o erro é muito pequeno — essa aproximação já é bem precisa para a maioria das provas.