Calcule o valor de cada limite abaixo:
lim x 3 2 x^3-6 x^2+x-3x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pergunta o que acontece com a expressão 2 x^3-6 x^2+x-3x-3 quando o valor de x se aproxima de 3. Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um conceito fundamental no cálculo para entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão, possivelmente fatorando o numerador para cancelar o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador: 2x^3 - 6x^2 + x - 3. Nosso objetivo é fatorar esse polinômio. Vamos tentar encontrar um fator comum ou uma raiz que facilite a fatoração.

Passo 3

Vamos usar o método da fatoração por agrupamento. Agrupamos os termos:
2x^3 - 6x^2 + x - 3 = (2x^3 - 6x^2) + (x - 3)
Agora, fatoramos o que é comum em cada grupo:
= 2x^2(x - 3) + 1(x - 3)

Passo 4

Perceba que (x - 3) é um fator comum agora:
= (x - 3)(2x^2 + 1)
Então, o numerador fatorado fica (x - 3)(2x^2 + 1).

Passo 5

Agora, nossa expressão original fica:
2x^3 - 6x^2 + x - 3x - 3 = (x - 3)(2x^2 + 1)x - 3
Podemos cancelar o (x - 3) no numerador e denominador, desde que x neq 3:
= 2x^2 + 1

Passo 6

Agora, para encontrar o limite quando x se aproxima de 3, basta substituir x por 3 na expressão simplificada:
limx 3 (2x^2 + 1) = 2(3)^2 + 1 = 2 times 9 + 1 = 18 + 1 = 19

Resposta

O limite é igual a 19.

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