Calcule o valor de \Delta_{\mathrm{r}} G^{\mathrm{o}} para cada uma das seguintes constantes de equilíbrio: 1,0 \times 10^{-4}, 1,0 \times 10^{-2}, 1,0,1,0 \times 10^{2} e 1,0 \times 10^{4} a 298 K .

Passo 1

O enunciado pede: calcular o valor de \Delta_{\mathrm{r}} G^{\mathrm{o}} (variação da energia livre de Gibbs padrão da reação) para cada uma das constantes de equilíbrio dadas, todas a T=298\\ \mathrm{K}. As constantes de equilíbrio fornecidas (na ordem) são:
  • K = 1{,}0\times10^{-4}
  • K = 1{,}0\times10^{-2}
  • K = 1{,}0
  • K = 1{,}0\times10^{2}
  • K = 1{,}0\times10^{4}

Passo 2

Fórmula que relaciona \Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}} com a constante de equilíbrio K:
\Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}} = -RT\ln K.
Explicando cada símbolo:
  • \Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}} é a variação da energia livre de Gibbs padrão da reação (unidade: \mathrm{J\,mol^{-1}} ou \mathrm{kJ\,mol^{-1}}).
  • R é a constante universal dos gases, R \approx 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • T é a temperatura absoluta em kelvin; aqui T=298\\ \mathrm{K}.
  • \ln é o logaritmo natural (base e).
    Observação didática: essa fórmula vem de \Delta G = \Delta G^{\mathrm{o}} + RT\ln Q. Em equilíbrio vale \Delta G=0 e Q=K, daí \Delta G^{\mathrm{o}} = -RT\ln K.

Passo 3

Estratégia prática para estes K que são potências de 10: escrever K=10^{n}. Então
\Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}} = -RT\ln\bigl(10^{n}\bigr) = -RT\cdot n\ln 10 = -n\,(RT\ln 10).
Assim é suficiente calcular RT\ln 10 uma vez e multiplicar por -n.

Passo 4

Cálculo de RT e de RT\ln 10.
R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},\qquad T=298\\ \mathrm{K},
RT = 8{,}314462618\times 298 \approx 2477{,}709860\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Valor de \ln 10:
\ln 10 \approx 2{,}302585093.
Multiplicando:
RT\ln 10 \approx 2477{,}709860\times 2{,}302585093 \approx 5705{,}137557\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Para trabalhar com unidades mais legíveis, passo para \mathrm{kJ\,mol^{-1}}:
RT\ln 10 \approx 5{,}705{,}14\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 5

Agora aplico \Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}} = -n\,(RT\ln 10) caso K=10^{n}. Determino n para cada K e calculo:
  1. Para K=1{,}0\times10^{-4}: aqui n=-4.
\Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}} = -(-4)\times 5{,}705{,}14\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} = +22{,}820{,}6\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
  1. Para K=1{,}0\times10^{-2}: n=-2.
\Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}} = -(-2)\times 5{,}705{,}14\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} = +11{,}410{,}3\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
  1. Para K=1{,}0: n=0.
\Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}} = -0\times 5{,}705{,}14 = 0{,}000\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
  1. Para K=1{,}0\times10^{2}: n=2.
\Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}} = -2\times 5{,}705{,}14\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} = -11{,}410{,}3\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
  1. Para K=1{,}0\times10^{4}: n=4.
\Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}} = -4\times 5{,}705{,}14\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} = -22{,}820{,}6\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
(Dica prática: para K muito menor que 1 obtém-se \Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}}>0 — reação não favorecida sob condições padrão; para K muito maior que 1 obtém-se \Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}}<0 — reação favorecida.)

Resposta

\Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}}(K=1{,}0\times10^{-4}) = +22{,}820{,}6\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}
\Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}}(K=1{,}0\times10^{-2}) = +11{,}410{,}3\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}
\Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}}(K=1{,}0) = 0{,}000\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}
\Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}}(K=1{,}0\times10^{2}) = -11{,}410{,}3\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}
\Delta_{\mathrm{r}}G^{\mathrm{o}}(K=1{,}0\times10^{4}) = -22{,}820{,}6\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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