Calcule o valor da derivada da função f(x)=1x^2+e^-x+sec ^2 x quando x0=pi4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=1x^2+e^-x+sec^2x
e em seguida avaliar f' em x0=pi4. Vamos usar a linearidade da derivada, a regra da potência, a regra da cadeia e as derivadas conhecidas de e^x e sec x.

Passo 2

Derivamos o primeiro termo u(x)=x^-2. Pela regra da potência ddxx^n=n,x^n-1:
u'(x)=ddxx^-2=-2,x^-3=-2x^3

Passo 3

Derivamos o segundo termo v(x)=e^-x e o terceiro w(x)=sec^2x.
Para v, pela cadeia:
v'(x)=ddxe^-x=e^-xcdot(-1)=-e^-x
Para w, note que w(x)=(sec x)^2. Pela cadeia l(g(x)r)^2 com g(x)=sec x e ddxsec x=sec xtan x:
w'(x)=2,sec xcdot(sec xtan x)=2,sec^2x,tan x

Passo 4

Somando as três derivadas pela linearidade, obtemos
f'(x)=u'(x)+v'(x)+w'(x) =-2x^3-e^-x+2,sec^2x,tan x

Passo 5

Agora avaliamos em x=pi4. Primeiro
-2l(pi4r)^3 =-2pi^364 =-128pi^3
Em seguida, como tanl(tfracpi4r)=1 e secl(tfracpi4r)=raiz2 então sec^2l(tfracpi4r)=2, daí
2,sec^2!l(tfracpi4r),tan!l(tfracpi4r) =2cdot2cdot1 =4
Logo,
f'!l(tfracpi4r) =-128pi^3-e^-pi4+4

Resposta

f'!l(tfracpi4r) =4-128pi^3-e^-pi4

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