(3 pontos) Determine em cada caso a solução geral da equação diferencial e a solução partícular que satisfaz y(1)=1.
d yd t=2 t y+e^t^2

Passo 1

Reescrevemos a equação diferencial na forma padrão
dydt-2t,y=e^t^2,
que é uma equação linear de primeira ordem dydt+p(t)y=q(t) com p(t)=-2t e q(t)=e^t^2. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(t)=e^integral p(t),dt =e^integral (-2t),dt =e^-t^2

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t) obtemos
e^-t^2dydt-2t,e^-t^2y =ddtl(y,e^-t^2r) = e^t^2,e^-t^2=1
Integrando em t:
y,e^-t^2=integral 1,dt = t+C Longrightarrow y(t)=(t+C),e^t^2

Passo 4

Impondo a condição inicial y(1)=1 na solução geral y(t)=(t+C)e^t^2
1=(1+C)e^1 Longrightarrow 1+C=e^-1 Longrightarrow C=e^-1-1

Passo 5

Substituindo C=e^-1-1 na solução geral obtemos a solução particular
y(t)=l(t+e^-1-1r),e^t^2

Resposta

Solução geral: y(t)=(t+C),e^t^2
Solução particular com y(1)=1: y(t)=l(t+e^-1-1r),e^t^2

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