Dada a função f(x)=x^2-4 x+3 :
(a) Determine o vértice da parábola.
(b) Calcule as raízes da função.
(c) Determine o domínio e a imagem.
(d) Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a função quadrática
f(x)=x^2-4x+3
e pede: (a) o vértice da parábola; (b) as raízes; (c) domínio e imagem; (d) um esboço do gráfico. Vamos usar fórmulas clássicas de vértice e de raízes de uma quadrática, observar o sinal do coeficiente a para a imagem e em seguida marcar os pontos principais para desenhar.

Passo 2

Para encontrar o vértice usamos
xv=-b2a, a=1,;b=-4
então
xv=--42cdot1=42=2
O valor de yv é
yv=f(2)=2^2-4cdot2+3=4-8+3=-1
Logo o vértice é (2,-1).

Passo 3

Para as raízes resolvemos f(x)=0, ou seja
x^2-4x+3=0
O discriminante é
De<a=b^2-4ac=(-4)^2-4cdot1cdot3=16-12=4
Portanto as raízes são
x=-bpmraizDe<a2a =4pm22
isto é x=3 e x=1.

Passo 4

O domínio de qualquer polinômio é todo R. Como a=1>0, a parábola abre para cima e seu valor mínimo é yv=-1. Logo a imagem é
[-1,infty)

Passo 5

Para esboçar o gráfico marcamos:
  • Vértice em (2,-1).
  • Raízes em (1,0) e (3,0).
  • Intercepto em y dado por f(0)=3, ponto (0,3).
  • Eixo de simetria x=2.
    A parábola abre para cima, passa por esses pontos e tem a forma característica de “U”.

Resposta

(a) Vértice: (2,-1).
(b) Raízes: x=1 e x=3.
(c) Domínio: R; Imagem: [-1,infty).
(d) Gráfico: parábola com vértice em (2,-1), interceptos em (1,0), (3,0), (0,3) e eixo de simetria x=2, abrindo para cima.

Exercícios relacionados