Resolva em \mathbb{R} as inequações abaixo:
|x^2-x-4|>2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a inequação com valor absoluto
|x^2-x-4|>2.
O conteúdo aqui é usar a definição de valor absoluto: para uma expressão A e número positivo B,
|A|>BLong<=ftrightarrow A>Bou A< -B,
e em seguida resolver inequações de segundo grau.

Passo 2

Aplicando a definição ao caso A=x^2-x-4 e B=2, obtemos as duas inequações equivalentes:
x^2-x-4>2
ou
x^2-x-4< -2

Passo 3

Resolvendo
x^2-x-4>2
temos
x^2-x-6>0
Fatorando,
x^2-x-6=(x-3)(x+2)
Para um produto ser positivo, ou ambos fatores são positivos ou ambos são negativos. Logo
(x-3)(x+2)>0Longrightarrow x< -2ou x>3

Passo 4

Resolvendo
x^2-x-4< -2
temos
x^2-x-2<0
Fatorando,
x^2-x-2=(x-2)(x+1)
Para um produto ser negativo, os fatores têm sinais opostos. Logo
(x-2)(x+1)<0Longrightarrow -1<x<2

Passo 5

A solução da inequação original é a união dos dois resultados, excluindo pontos em que o valor absoluto fica exatamente 2. Portanto
xin(-infty,-2),cup,(-1,2),cup,(3,infty)

Resposta

(-infty,-2)cup(-1,2)cup(3,infty)

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