Calcule o valor da dérivada de f(x) na vizinhança de x = 2 para a função f(x) = raizx^3 - 3x + 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x) = raizx^3 - 3x + 2 próximo de x = 2. O conteúdo envolvido é derivação de função composta, ou seja, vamos usar a regra da cadeia e a derivada de raiz quadrada.

Passo 2

Para encontrar f'(x), definimos g(x) = x^3 - 3x + 2 e observamos que f(x) = (g(x))^1/2. Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = 12,(g(x))^-1/2,g'(x)
Como g'(x) = 3x^2 - 3, temos:
f'(x) = 3x^2 - 32raizx^3 - 3x + 2

Passo 3

Agora só falta avaliar em x = 2. Calculamos primeiro:\
g(2) = 2^3 - 3cdot2 + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 e g'(2) = 3cdot2^2 - 3 = 12 - 3 = 9. Portanto:
f'(2) = 92raiz4 = 92cdot2 = 94

Resposta

tfrac94

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