Considere a função f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4. Calcule os intervalos onde f é crescente.

Passo 1

Vamos recapitular: temos a função f(x)=2x^3-6x^2+4 e o objetivo é achar onde ela é crescente. Esse é um problema de monotonicidade usando derivadas, visto em Cálculo Diferencial. Precisamos calcular f'(x) e estudar seu sinal.

Passo 2

Para achar a derivada, aplicamos a regra de potência em cada termo. Fica:
f'(x)=ddx(2x^3)-ddx(6x^2)+ddx(4)=6x^2-12x+0=6x^2-12x

Passo 3

Em seguida fatoramos f'(x) para facilitar o estudo de sinais:
f'(x)=6x(x-2)

Passo 4

Agora encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0. Temos as soluções x=0 e x=2. Esses pontos dividem a reta em três intervalos:

Passo 5

Avaliar o sinal de f'(x) em cada intervalo via teste de sinais:
  • Para x<0: x é negativo e x-2 é negativo, então 6x(x-2)>0.
  • Para 0: x é positivo e x-2 é negativo, logo 6x(x-2)<0.
  • Para x>2: x e x-2 são positivos, logo 6x(x-2)>0.

Passo 6

Concluímos que f'(x)>0 em (-infty,0) e em (2,infty), portanto nesses intervalos f é crescente.

Resposta

f é crescente em (-,0).

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