Determine o ponto de máximo e mínimo de
.
Passo 1
A função dada é f(x) = x^4 – 4x^2 + 4. O conteúdo é derivadas para achar pontos críticos e depois usar a segunda derivada para classificar máximo ou mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de f. Para isso lembramos que a derivada de x^n é n·x^{n–1}. Logo,
Passo 3
Em seguida, encontramos os pontos críticos impondo f’(x) = 0:
Passo 4
Agora, usamos a segunda derivada para classificar cada ponto. Calculando f’’:
Passo 5
Avaliando em cada ponto:
- Em x = 0: f’’(0) = -8 < 0, portanto é ponto de máximo local.
- Em x = \pm\sqrt{2}: f’’(\pm\sqrt{2}) = 12(2) - 8 = 16 > 0, portanto são mínimos locais.
Passo 6
Por fim, calculamos os valores de f nesses pontos:
- f(0) = 0^4 - 4·0^2 + 4 = 4.
- f(\pm\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4·(\sqrt{2})^2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0.
Resposta
Ponto de máximo em (0, 4) e pontos de mínimo em (\pm\sqrt{2}, 0).