Determine o ponto de máximo e mínimo de f(x) = x^4 - 4x^2 + 4.

Passo 1

A função dada é f(x) = x^4 – 4x^2 + 4. O conteúdo é derivadas para achar pontos críticos e depois usar a segunda derivada para classificar máximo ou mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de f. Para isso lembramos que a derivada de x^n é n·x^{n–1}. Logo,
f'(x) = 4x^3 - 8x

Passo 3

Em seguida, encontramos os pontos críticos impondo f’(x) = 0:
4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) = 0 implies x = 0, ; x = pmraiz2

Passo 4

Agora, usamos a segunda derivada para classificar cada ponto. Calculando f’’:
f''(x) = 12x^2 - 8

Passo 5

Avaliando em cada ponto:
  • Em x = 0: f’’(0) = -8 < 0, portanto é ponto de máximo local.
  • Em x = \pm\sqrt{2}: f’’(\pm\sqrt{2}) = 12(2) - 8 = 16 > 0, portanto são mínimos locais.

Passo 6

Por fim, calculamos os valores de f nesses pontos:
  • f(0) = 0^4 - 4·0^2 + 4 = 4.
  • f(\pm\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4·(\sqrt{2})^2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0.

Resposta

Ponto de máximo em (0, 4) e pontos de mínimo em (\pm\sqrt{2}, 0).

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