Calcule o valor destas integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral de superfície de uma função escalar sobre a porção do paraboloide definida por z=x²+y², com 1≤z≤9, x≥0, y≥0. O conteúdo envolve integrais de superfície de função escalar e vamos precisar usar a fórmula para gráfico de função, derivadas parciais e coordenadas polares.
Passo 2
A superfície S é dada por z=f(x,y)=x²+y² e, portanto, é um gráfico de função (um paraboloide). Para integrar G sobre S, usaremos a fórmula de integral de superfície para gráficos:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x²+y²:
Passo 4
Assim, o fator de correção é
. No plano xy, a região D é o quartel de coroa circular entre r=1 e r=3 (pois z=r² varia de 1 a 9) e θ de 0 a π/2.
Em coordenadas polares usamos x=r\cosθ, y=r\sinθ, de modo que G=arctan(y/x)=θ, e
. A integral vira:
Em coordenadas polares usamos x=r\cosθ, y=r\sinθ, de modo que G=arctan(y/x)=θ,
Passo 5
Separamos o produto de integrais:
O primeiro integral é
Passo 6
Multiplicando os resultados, obtemos