Calcule o valor destas integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.
G=arctan (y / x), S: z=x^2+y^2, 1 <= z <= 9, x >= 0, y >= 0

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de superfície de uma função escalar sobre a porção do paraboloide definida por z=x²+y², com 1≤z≤9, x≥0, y≥0. O conteúdo envolve integrais de superfície de função escalar e vamos precisar usar a fórmula para gráfico de função, derivadas parciais e coordenadas polares.

Passo 2

A superfície S é dada por z=f(x,y)=x²+y² e, portanto, é um gráfico de função (um paraboloide). Para integrar G sobre S, usaremos a fórmula de integral de superfície para gráficos:
integral duplaSG,dS = integral duplaDG(x,y),raiz1+fx^2+fy^2,dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x²+y²:
fx=2x, fy=2y

Passo 4

Assim, o fator de correção é raiz1+4x^2+4y^2. No plano xy, a região D é o quartel de coroa circular entre r=1 e r=3 (pois z=r² varia de 1 a 9) e θ de 0 a π/2.
Em coordenadas polares usamos x=r\cosθ, y=r\sinθ, de modo que G=arctan(y/x)=θ, dA=r,dr,dθ e raiz1+4r^2. A integral vira:
integralθ=0^pi/2integralr=1^3 θ,raiz1+4r^2,r,dr,dθ

Passo 5

Separamos o produto de integrais:
l(integral0^pi/2 θ,dθr) l(integral1^3 rraiz1+4r^2,drr)
O primeiro integral é integral0^pi/2θ,dθ=pi^2/8. Para o segundo, fazemos u=1+4r², du=8r dr, resultando em
integral1^3rraiz1+4r^2,dr = 18integralu=5^37u^1/2du = 112l(37^3/2-5^3/2r)

Passo 6

Multiplicando os resultados, obtemos
pi^28 times 112l(37^3/2-5^3/2r) = pi^2l(37^3/2-5^3/2r)96

Resposta

pi^2l(37^3/2-5^3/2r)96

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