Calcule o valor destas integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função escalar G(x,y,z)=3xy e a superfície S definida pelo gráfico z=xy no domínio 0≤x≤1, 0≤y≤1. O conteúdo é a integral de superfície de função escalar sobre uma superfície parametrizada como grafo. Vamos usar a fórmula
.
Passo 2
Como estamos representando S como o grafo de z=xy, tomamos (x,y) como parâmetros. Calculamos as derivadas parciais:
e
. Portanto o fator de área é
.
Passo 3
Montamos a integral de superfície:
Passo 4
Integramos primeiro em x. Para
Passo 5
Substituindo na integral total, fica
Cada termo é do tipo
Passo 6
Aplicando a fórmula para
e
e combinando, chegamos a
Passo 7
Tipo de superfície: é um gráfico explícito de função de duas variáveis (superfície parametrizada por (x,y,xy)).
Resposta
A integral vale
e a superfície é um gráfico explícito dado por
.