Calcule o valor destas integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.
G=3 x y, S: z=x y, 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função escalar G(x,y,z)=3xy e a superfície S definida pelo gráfico z=xy no domínio 0≤x≤1, 0≤y≤1. O conteúdo é a integral de superfície de função escalar sobre uma superfície parametrizada como grafo. Vamos usar a fórmula dS=raiz1+zx^2+zy^2,dx,dy.

Passo 2

Como estamos representando S como o grafo de z=xy, tomamos (x,y) como parâmetros. Calculamos as derivadas parciais: zx=y e zy=x. Portanto o fator de área é raiz1+y^2+x^2.

Passo 3

Montamos a integral de superfície:
I=integral duplaS G,dS=integral0^1integral0^1 3xyraiz1+x^2+y^2,dx,dy

Passo 4

Integramos primeiro em x. Para
integral0^1 xraiz1+y^2+x^2,dx, fazemos a substituição t=1+y^2+x^2, dt=2x,dx. O resultado é
13l[(2+y^2)^3/2-(1+y^2)^3/2r]

Passo 5

Substituindo na integral total, fica
I=integral0^1 yl[(2+y^2)^3/2-(1+y^2)^3/2r]dy
Cada termo é do tipo integral y(a+y^2)^3/2dy. Com u=a+y^2, du=2y,dy, obtemos
15l[(a+1)^5/2-a^5/2r]

Passo 6

Aplicando a fórmula para a=2 e a=1 e combinando, chegamos a
I=15l[3^5/2-2cdot2^5/2+1r]=15(9raiz3-8raiz2+1)

Passo 7

Tipo de superfície: é um gráfico explícito de função de duas variáveis (superfície parametrizada por (x,y,xy)).

Resposta

A integral vale 15(9raiz3-8raiz2+1) e a superfície é um gráfico explícito dado por z=xy.

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