Mostre como encontrar a derivada f^prime(x) das funções abaixo
f(x)=x^3 em x=1

Passo 1

A questão pede para encontrar a derivada de f(x)=x^3 no ponto x=1. O conteúdo é derivação de funções polinomiais e precisaremos usar a definição de derivada como limite do quociente de diferenças.

Passo 2

A definição de derivada de uma função f num ponto x é dada por
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Nesse caso, f(x)=x^3.

Passo 3

Vamos calcular o quociente de diferenças:
f(x+h)-f(x)h = (x+h)^3 - x^3h
Expandindo (x+h)^3:
(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3,
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(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - x^3h = 3x^2h + 3xh^2 + h^3h = 3x^2 + 3xh + h^2

Passo 4

Tomando o limite quando h to 0:
f'(x) = limhto0(3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2
Portanto, a derivada geral é f'(x)=3x^2.

Passo 5

Para encontrar f'(1), substituímos x=1:
f'(1) = 3cdot1^2 = 3

Resposta

A derivada é f'(x)=3x^2 e em x=1 vale f'(1)=3.

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