Calcule o valor do determinante D=\left|\begin{array}{lll}2 & \log _{5} 5 & \log _{5} 5 \\\\ 5 & \log _{5} 125 & \log _{5} 25 \\\\ 8 & \log _{3} 27 & \log _{3} 243\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante D da matriz cujos elementos envolvem logaritmos. Mais precisamente, temos:
D=\left|\begin{array}{lll} 2 & \log_{5}5 & \log_{5}5\\[6pt] 5 & \log_{5}125 & \log_{5}25\\[6pt] 8 & \log_{3}27 & \log_{3}243 \end{array}\right|
As informações relevantes fornecidas são exatamente os elementos da matriz acima (alguns escritos como logaritmos). O que se pede é o valor numérico do determinante D.]

Passo 2

Vamos simplificar cada logaritmo usando propriedades básicas de logaritmos. Lembrete rápido: para qualquer base a>0 e qualquer expoente k,
\log_{a}(a^k)=k
e em particular \log_{a}a=1.
Aplicando isso aos termos do problema:
\log_{5}5=1, \qquad \log_{5}125=\log_{5}(5^{3})=3, \qquad \log_{5}25=\log_{5}(5^{2})=2,
\log_{3}27=\log_{3}(3^{3})=3, \qquad \log_{3}243=\log_{3}(3^{5})=5.

Passo 3

Substituindo esses valores no determinante, obtemos a matriz numérica
D=\left|\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1\\[6pt] 5 & 3 & 2\\[6pt] 8 & 3 & 5 \end{array}\right|.]

Passo 4

Antes de calcular com fórmulas, é bom procurar relações simples entre colunas ou linhas que possam facilitar. Observe as colunas:
\text{coluna}_1=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\\[4pt]8\end{pmatrix},\qquad \text{coluna}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad \text{coluna}_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Note que
\text{coluna}_2+\text{coluna}_3=\begin{pmatrix}1+1\\[4pt]3+2\\[4pt]3+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\\[4pt]8\end{pmatrix}=\text{coluna}_1.
Ou seja, \text{coluna}_1=\text{coluna}_2+\text{coluna}_3.]

Passo 5

Quando uma coluna de uma matriz é combinação linear das outras colunas (ou seja, as colunas são linearmente dependentes), o determinante dessa matriz é zero. Uma explicação curta e direta: se \text{coluna}_1=\text{coluna}_2+\text{coluna}_3, então
D=\det(\text{coluna}_1,\text{coluna}_2,\text{coluna}_3) =\det(\text{coluna}_2+\text{coluna}_3,\text{coluna}_2,\text{coluna}_3)
pelo teorema da multilinearidade isso se separa em
D=\det(\text{coluna}_2,\text{coluna}_2,\text{coluna}_3)+\det(\text{coluna}_3,\text{coluna}_2,\text{coluna}_3).
Mas cada um desses determinantes tem duas colunas iguais (no primeiro, colunas 1 e 2; no segundo, colunas 1 e 3), e determinantes com duas colunas iguais valem zero. Portanto D=0+0=0.

Passo 6

Para confirmar por cálculo direto (opcional, só para treino), usa-se a regra de Sarrus para 3\times3:
D= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.
Com a_{11}=2,a_{12}=1,a_{13}=1,a_{21}=5,a_{22}=3,a_{23}=2,a_{31}=8,a_{32}=3,a_{33}=5:
\begin{aligned} \text{soma positiva}&=2\cdot3\cdot5+1\cdot2\cdot8+1\cdot5\cdot3=30+16+15=61,\\[4pt] \text{soma negativa}&=1\cdot3\cdot8+2\cdot2\cdot3+1\cdot5\cdot5=24+12+25=61,\\[4pt] D&=61-61=0. \end{aligned}
Então dá zero, consistente com a observação de dependência linear.]

Resposta

0

Exercícios relacionados