Determine x tal que:
\left|\begin{array}{cc}2 x & x-2 \\\\ 4 x+5 & 3 x-1\end{array}\right|=11

Passo 1

O enunciado pede para determinar x tal que o determinante da matriz 2\times2
\left|\begin{array}{cc}2x & x-2 \\[4pt] 4x+5 & 3x-1\end{array}\right|
seja igual a 11. Ou seja, encontrar todos os valores de x que satisfazem essa equação.
Informações dadas:
  • A matriz é \begin{pmatrix}2x & x-2\\[2pt]4x+5 & 3x-1\end{pmatrix}.
  • O determinante dessa matriz vale 11.
O que é pedido:
  • Resolver a equação que surge ao calcular o determinante e igualá-lo a 11, encontrando os valores de x.]

Passo 2

Lembrete importante (fórmula do determinante de uma 2\times2):
\left|\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right| = ad - bc.
Aqui, a, b, c, d representam os elementos da matriz nas posições correspondentes. Vamos aplicar essa fórmula com a=2x, b=x-2, c=4x+5, d=3x-1.]

Passo 3

Aplicando a fórmula do determinante:
\left|\begin{array}{cc}2x & x-2 \\[4pt] 4x+5 & 3x-1\end{array}\right| = (2x)\,(3x-1) - (x-2)\,(4x+5).
Agora vamos desenvolver cada produto passo a passo.]

Passo 4

Calcule os produtos separadamente.
Primeiro produto:
(2x)\,(3x-1) = 6x^{2} - 2x.
Segundo produto (uso da distributiva: (u+v)(w+z)=uw+uz+vw+vz, aqui u=x, v=-2, w=4x, z=5):
(x-2)\,(4x+5) = x\cdot(4x+5) - 2\cdot(4x+5) = 4x^{2}+5x - 8x - 10 = 4x^{2} - 3x - 10.

Passo 5

Substituindo os resultados no determinante:
\text{det} = (6x^{2}-2x) - (4x^{2}-3x-10).
Agora simplifica termo a termo:
\text{det} = 6x^{2} - 2x - 4x^{2} + 3x + 10 = 2x^{2} + x + 10.
A condição dada é que esse determinante seja igual a 11. Logo:
2x^{2} + x + 10 = 11.

Passo 6

Coloca a equação no formato padrão de uma quadrática (tudo a um lado):
2x^{2} + x + 10 - 11 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2} + x - 1 = 0.
Essa é uma equação quadrática da forma \,ax^{2}+bx+c=0 com a=2, b=1, c=-1.

Passo 7

Para resolver a quadrática, uso a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Calculo o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 1^{2}-4\cdot 2\cdot(-1) = 1 + 8 = 9.
Como \Delta=9, \sqrt{\Delta}=3. Substituindo na fórmula:
x = \frac{-1 \pm 3}{2\cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}.
Portanto as duas soluções são
x_{1} = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \qquad x_{2} = \frac{-1-3}{4} = \frac{-4}{4} = -1.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, só para ficar seguro):
  • Se x=\tfrac{1}{2}, então o determinante calculado antes dá 2(\tfrac{1}{2})^{2}+(\tfrac{1}{2})+10 = 2\cdot\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}+10 = \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+10 = 11.
  • Se x=-1, então 2(-1)^{2}+(-1)+10 = 2 -1 +10 = 11.
    Ambos satisfazem a equação original, confirmando as soluções.

Resposta

x=\dfrac{1}{2}
x=-1

Exercícios relacionados