Determine
tal que:
Passo 1
O enunciado pede para determinar
tal que o determinante da matriz
seja igual a
. Ou seja, encontrar todos os valores de
que satisfazem essa equação.
Informações dadas:
- A matriz é
. - O determinante dessa matriz vale
.
O que é pedido:
- Resolver a equação que surge ao calcular o determinante e igualá-lo a
, encontrando os valores de .]
Passo 2
Lembrete importante (fórmula do determinante de uma
):
Aqui,
,
,
,
representam os elementos da matriz nas posições correspondentes. Vamos aplicar essa fórmula com
,
,
,
.]
Passo 3
Aplicando a fórmula do determinante:
Agora vamos desenvolver cada produto passo a passo.]
Passo 4
Calcule os produtos separadamente.
Primeiro produto:
Segundo produto (uso da distributiva:
, aqui
,
,
,
):
Passo 5
Substituindo os resultados no determinante:
Agora simplifica termo a termo:
A condição dada é que esse determinante seja igual a
. Logo:
Passo 6
Coloca a equação no formato padrão de uma quadrática (tudo a um lado):
Essa é uma equação quadrática da forma
com
,
,
.
Passo 7
Para resolver a quadrática, uso a fórmula de Bhaskara:
Calculo o discriminante:
Como
,
. Substituindo na fórmula:
Portanto as duas soluções são
Passo 8
Verificação rápida (opcional, só para ficar seguro):
- Se
, então o determinante calculado antes dá . - Se
, então .
Ambos satisfazem a equação original, confirmando as soluções.