Dadas as matrizes, calcule o determinante da matriz \mathrm{A}^{2}+\mathrm{B}^{2}
A=\left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}
e pede o determinante de A^2 + B^2. Para isso vamos usar multiplicação de matrizes para achar A^2 e B^2, depois somar e, por fim, aplicar definição de determinante em 2×2.

Passo 2

Para calcular A^2 fazemos
A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix}
Aplicando a definição de produto de matrizes,
A^2 = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 0\cdot 2 & 1\cdot 0 + 0\cdot(-1) \\\\ 2\cdot 1 + (-1)\cdot 2 & 2\cdot 0 + (-1)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular B^2 fazemos
B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}
e pela definição
B^2 = \begin{pmatrix} 0\cdot 0 + 2\cdot 1 & 0\cdot 2 + 2\cdot 3 \\\\ 1\cdot 0 + 3\cdot 1 & 1\cdot 2 + 3\cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 6 \\\\ 3 & 11\end{pmatrix}.

Passo 4

Somamos A^2 e B^2 elemento a elemento:
A^2 + B^2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & 6 \\\\ 3 & 11\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 6 \\\\ 3 & 12\end{pmatrix}.

Passo 5

Para uma matriz \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} o determinante é ad - bc. Assim
\det(A^2 + B^2) = 3 \cdot 12 \;-\; 6 \cdot 3 = 36 - 18 = 18.

Resposta

18

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