Questão2:
Dada a matriz A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & a \\\\ 3 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right), calcule a para que A seja invertível. (Dica: A é invertível se \operatorname{det} A \neq 0 )

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\[6pt] 3 & 2 & 2 \\[3pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede para achar o valor de a tal que A seja invertível. O conteúdo necessário é cálculo de determinante de matriz 3\times3 e a condição de invertibilidade: A é invertível se, e somente se, \det A \neq 0.]

Passo 2

Recordando a teoria, uma matriz quadrada A é invertível exatamente quando
\det A \neq 0.

Passo 3

Vamos calcular \det A usando expansão pela primeira linha:
\det A = 1 \cdot \det\!\begin{pmatrix}2 & 2 \\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} - 2 \cdot \det\!\begin{pmatrix}3 & 2 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} + a \cdot \det\!\begin{pmatrix}3 & 2 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}2 & 2 \\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} = 2\cdot1 - 2\cdot1 = 0,
\det\begin{pmatrix}3 & 2 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} = 3\cdot1 - 2\cdot0 = 3.
Substituindo,
\det A = 1\cdot 0 \;-\;2\cdot 3 \;+\;a\cdot 3 = -6 + 3a = 3a - 6.]

Passo 4

Para A ser invertível, precisamos de
\det A = 3a - 6 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad 3a \neq 6 \quad\Longrightarrow\quad a \neq 2.

Resposta

a \neq 2

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