Calcule o valor exato das expressões, use as fórmulas da soma ou da diferença:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a expressão
. - Pede-se calcular o valor exato dessa expressão, usando fórmulas de soma ou diferença de ângulos.
- Observação: os números relevantes são os ângulos
e ; não há outros dados numéricos escondidos.
Passo 2
Apresentar e entender a fórmula de diferença para a tangente (a ferramenta que vamos usar).
- Vamos usar a identidade que relaciona a tangente da diferença de dois ângulos com as tangentes desses ângulos.
- Derivação curta (para entender de onde vem): por definição
é . Então
- Dividindo numerador e denominador por
obtemos
- Explicação dos símbolos:
são ângulos quaisquer; e são seno e cosseno; é a tangente. A fórmula diz exatamente que a fração é igual a .
Passo 3
Aplicar a fórmula ao caso concreto
e
.
- Substituindo na identidade obtida:
- Portanto a expressão dada é igual a
. (Chegamos a uma expressão mais simples: basta calcular exatamente.)
Passo 4
Calcular
exatamente usando valores conhecidos de seno e cosseno.
- Valores trigonométricos clássicos:
e . - Como
, temos
- Para deixar no formato usual sem radical no denominador, racionalizamos:
Passo 5
Resumo do raciocínio prático para a prova (receita curta para decorar):
- Reconhecer a forma
e lembrar que é . - Substituir e reduzir o problema a
de um ângulo simples. - Usar seno e cosseno conhecidos para obter o valor exato e racionalizar se desejar.