Calcule o valor exato das expressões, use as fórmulas da soma ou da diferença:
\frac{\operatorname{tg} 40^{\circ}-\operatorname{tg} 10^{\circ}}{1+\operatorname{tg} 40^{\circ} \operatorname{tg} 10^{\circ}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a expressão \dfrac{\operatorname{tg}40^\circ-\operatorname{tg}10^\circ}{1+\operatorname{tg}40^\circ\operatorname{tg}10^\circ}.
  • Pede-se calcular o valor exato dessa expressão, usando fórmulas de soma ou diferença de ângulos.
  • Observação: os números relevantes são os ângulos 40^\circ e 10^\circ; não há outros dados numéricos escondidos.

Passo 2

Apresentar e entender a fórmula de diferença para a tangente (a ferramenta que vamos usar).
  • Vamos usar a identidade que relaciona a tangente da diferença de dois ângulos com as tangentes desses ângulos.
  • Derivação curta (para entender de onde vem): por definição \tan é \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Então
\tan(A-B)=\frac{\sin(A-B)}{\cos(A-B)}=\frac{\sin A\cos B-\cos A\sin B}{\cos A\cos B+\sin A\sin B}.
  • Dividindo numerador e denominador por \cos A\cos B obtemos
\tan(A-B)=\frac{\dfrac{\sin A}{\cos A}-\dfrac{\sin B}{\cos B}}{1+\dfrac{\sin A}{\cos A}\dfrac{\sin B}{\cos B}} =\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}.
  • Explicação dos símbolos: A,B são ângulos quaisquer; \sin e \cos são seno e cosseno; \tan é a tangente. A fórmula diz exatamente que a fração \dfrac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B} é igual a \tan(A-B).

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso concreto A=40^\circ e B=10^\circ.
  • Substituindo na identidade obtida:
\frac{\tan 40^\circ-\tan 10^\circ}{1+\tan 40^\circ\tan 10^\circ}=\tan\bigl(40^\circ-10^\circ\bigr)=\tan 30^\circ.
  • Portanto a expressão dada é igual a \tan 30^\circ. (Chegamos a uma expressão mais simples: basta calcular \tan 30^\circ exatamente.)

Passo 4

Calcular \tan 30^\circ exatamente usando valores conhecidos de seno e cosseno.
  • Valores trigonométricos clássicos: \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} e \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Como \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, temos
\tan 30^\circ=\frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ}=\frac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Para deixar no formato usual sem radical no denominador, racionalizamos:
\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 5

Resumo do raciocínio prático para a prova (receita curta para decorar):
  • Reconhecer a forma \dfrac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B} e lembrar que é \tan(A-B).
  • Substituir e reduzir o problema a \tan de um ângulo simples.
  • Usar seno e cosseno conhecidos para obter o valor exato e racionalizar se desejar.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}}{3}

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