Calcule o valor da expressão : \mathrm{E}=\frac{\operatorname{sen} 2 x+\cos 8 x}{\operatorname{sen}^{2} 3 x} para \mathrm{x}=\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão \mathrm{E}=\frac{\sin(2x)+\cos(8x)}{\sin^{2}(3x)}
e pede para calcular em x=\frac{\pi}{2}. O conteúdo aqui é avaliação de funções trigonométricas em ângulos notáveis, usando valores do círculo unitário.

Passo 2

Para o numerador, calculamos \sin(2x) e \cos(8x) em x=\frac{\pi}{2}. Sabemos que \sin\pi=0 e \cos4\pi=1. Logo,
\sin\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin\pi=0, \quad \cos\bigl(8\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos4\pi=1.
Assim, o numerador vale 0+1=1.

Passo 3

Para o denominador, avaliamos \sin^{2}(3x) em x=\frac{\pi}{2}. Temos
\sin\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin\tfrac{3\pi}{2}=-1,
portanto
\sin^{2}\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=(-1)^{2}=1.

Passo 4

Agora dividimos numerador por denominador:
\mathrm{E}=\frac{1}{1}=1.

Resposta

\mathrm{E}=1

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