Quais dos pares de ângulos abaixo são côngruos com 120^{\circ}?
a) -240^{\circ} e 1920^{\circ}
b) 300^{\circ} e 1560^{\circ}
c) 200^{\circ} \mathrm{e} 600^{\circ}
d) -100^{\circ} e 0^{\circ}
e) 240^{\circ} \mathrm{e}-1920^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais pares de ângulos, dentre as opções dadas, são congruentes com 120^\circ. O conteúdo aqui é congruência de ângulos no sentido de “iguais módulo 360^\circ”. Vamos usar o critério de que dois ângulos \alpha e \beta são congruentes se, e só se, \alpha - \beta for múltiplo inteiro de 360^\circ.

Passo 2

Do critério de congruência temos: \alpha\equiv\beta\pmod{360^\circ} se, e só se, existir inteiro k tal que
\alpha - \beta = k\cdot 360^\circ.

Passo 3

Analisando a opção (a): -240^\circ e 1920^\circ.
Para -240^\circ:
-240^\circ - 120^\circ = -360^\circ = (-1)\cdot 360^\circ,
logo -240^\circ\equiv 120^\circ.
Para 1920^\circ:
1920^\circ - 120^\circ = 1800^\circ = 5\cdot 360^\circ,
logo 1920^\circ\equiv 120^\circ.
Conclusão: ambos são congruentes com 120^\circ.

Passo 4

Analisando a opção (b): 300^\circ e 1560^\circ.
Para 300^\circ:
300^\circ - 120^\circ = 180^\circ\neq k\cdot 360^\circ,
logo 300^\circ\not\equiv 120^\circ.
Para 1560^\circ:
1560^\circ - 120^\circ = 1440^\circ = 4\cdot 360^\circ,
logo 1560^\circ\equiv 120^\circ.
Mas como 300^\circ não é congruente, o par não serve.

Passo 5

Analisando a opção (c): 200^\circ e 600^\circ.
200^\circ - 120^\circ = 80^\circ\neq k\cdot 360^\circ, \quad 600^\circ - 120^\circ = 480^\circ\neq k\cdot 360^\circ.
Nenhum dos dois é congruente a 120^\circ.

Passo 6

Analisando a opção (d): -100^\circ e 0^\circ.
-100^\circ - 120^\circ = -220^\circ\neq k\cdot 360^\circ, \quad 0^\circ - 120^\circ = -120^\circ\neq k\cdot 360^\circ.
Nenhum dos dois é congruente a 120^\circ.

Passo 7

Analisando a opção (e): 240^\circ e -1920^\circ.
240^\circ - 120^\circ = 120^\circ\neq k\cdot 360^\circ, \quad -1920^\circ - 120^\circ = -2040^\circ\neq k\cdot 360^\circ.
Também nenhum dos dois é congruente a 120^\circ.

Resposta

(a)

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