Calcule o valor da expressão, sem usar calculadora:
A=\left(27^{-2 / 3}+4^{-1 / 2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{8}\right)^{-2 / 3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
A=\left(27^{-2 / 3}+4^{-1 / 2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{8}\right)^{-2 / 3}.
Informações dadas (já estão todas na expressão):
  • Há potências com expoentes fracionários e negativos: 27^{-2/3}, 4^{-1/2} e \left(\tfrac{1}{8}\right)^{-2/3}.
  • O objetivo é obter o valor numérico exato de A, sem calculadora.

Passo 2

Vamos rever as regras de potência que vamos usar (explicação didática, lembrando que não assume conhecimento prévio):
  • Para qualquer base positiva a e racional \dfrac{m}{n} (com n>0),
a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}.
Isto significa que elevar a a^{1/n} é pegar a raiz n-ésima de a, e expoentes racionais combinam potenciação e radiciação.
  • Para expoente negativo,
a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}.
Ou seja, o sinal negativo inverte a base (faz o recíproco).
  • Essas duas regras podem ser usadas em sequência. Por exemplo, a^{-m/n}=\dfrac{1}{a^{m/n}}=\dfrac{1}{\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}}.
Vamos aplicar essas regras termo a termo na expressão.

Passo 3

Calcular \displaystyle 27^{-2/3}.
Primeiro, escrever 27 como potência de uma base pequena: 27=3^{3}. Então
27^{-2/3}=(3^{3})^{-2/3}.
Usando a regra de potências (b^{r})^{s}=b^{rs}, temos
(3^{3})^{-2/3}=3^{3\cdot(-2/3)}=3^{-2}.
Agora 3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}.
Portanto
27^{-2/3}=\dfrac{1}{9}.

Passo 4

Calcular \displaystyle 4^{-1/2}.
Primeiro, 4^{1/2}=\sqrt{4}=2. Pelo expoente negativo,
4^{-1/2}=\frac{1}{4^{1/2}}=\frac{1}{2}.
Portanto
4^{-1/2}=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Somar os dois termos dentro do parêntese e elevar ao quadrado:
27^{-2/3}+4^{-1/2}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{2}.
Fazer a soma com denominador comum 18:
\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{18}+\dfrac{9}{18}=\dfrac{11}{18}.
Agora elevar ao quadrado:
\left(\dfrac{11}{18}\right)^{2}=\dfrac{121}{324}.

Passo 6

Calcular \displaystyle \left(\frac{1}{8}\right)^{-2/3}.
Usar a propriedade do expoente negativo primeiro: \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-2/3}=8^{2/3}.
Escrever 8 como potência de 2: 8=2^{3}. Então
8^{2/3}=(2^{3})^{2/3}=2^{3\cdot(2/3)}=2^{2}=4.
Portanto
\left(\frac{1}{8}\right)^{-2/3}=4.

Passo 7

Substituir os resultados na expressão original e simplificar:
A=\frac{121}{324}-4.
Escrever 4 com denominador 324: 4=\dfrac{4\cdot324}{324}=\dfrac{1296}{324}.
Então
A=\dfrac{121}{324}-\dfrac{1296}{324}=\dfrac{121-1296}{324}=\dfrac{-1175}{324}.
Verificar se a fração pode ser simplificada: 1175=25\cdot47 e 324=2^{2}\cdot3^{4}; não há fator comum além de 1. Logo a fração já está na forma irredutível.

Resposta

-\dfrac{1175}{324}

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