Resolva as equações abaixo:
2 \cdot \operatorname{sen}^{2} x=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
2\cdot \operatorname{sen}^{2} x = 1
ou seja, encontrar todos os x reais que satisfazem essa igualdade. Informação dada: a equação trigonométrica acima (não há restrição explícita ao domínio, então procuramos a solução geral, com parâmetro inteiro).

Passo 2

Primeiro isolamos \operatorname{sen}^{2} x. Lembrando que \operatorname{sen}^{2} x significa (\operatorname{sen} x)^2, dividimos ambos os lados por 2:
\operatorname{sen}^{2} x = \frac{1}{2}.
Explicação didática: quando temos uma potência de uma função trigonométrica igual a um número, o próximo passo natural é tirar a raiz quadrada, mas sempre lembrando que \sqrt{a^2}=|a|, então aparecerá o caso positivo e o caso negativo para \operatorname{sen} x.

Passo 3

Aplicando a raiz quadrada (considerando os dois sinais) obtemos
\operatorname{sen} x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.
É habitual racionalizar o denominador para escrever
\operatorname{sen} x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.
Comentário didático: então precisamos achar todos os ângulos cuja seno vale \frac{\sqrt{2}}{2} ou -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Encontrando as soluções no intervalo principal [0,2\pi):
  • Se \operatorname{sen} x = \frac{\sqrt{2}}{2}, os ângulos no círculo unitário são x=\frac{\pi}{4} e x=\frac{3\pi}{4}.
  • Se \operatorname{sen} x = -\frac{\sqrt{2}}{2}, os ângulos são x=\frac{5\pi}{4} e x=\frac{7\pi}{4}.
Agora escrevemos a solução geral (adicionando 2k\pi para repetir no ciclo trigonométrico) — uma forma direta é listar as quatro famílias:
x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi,\qquad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi,\qquad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi,\qquad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi,
com k\in\mathbb{Z}.
Mas note que essas quatro famílias podem ser reunidas numa expressão mais compacta: somando \frac{\pi}{2} sucessivas vezes partimos de \frac{\pi}{4} e percorremos exatamente os quatro ângulos acima. Assim a solução geral pode ser escrita de forma única como
x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Explicação didática: para cada inteiro k a adição de \frac{k\pi}{2} dá os ângulos \frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4},\dots repetidos ciclicamente, cobrindo todos os casos positivos e negativos do seno.

Passo 5

Verificação rápida (exemplo): tomar x=\frac{\pi}{4}. Temos \operatorname{sen}\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, logo
2\cdot\operatorname{sen}^2\frac{\pi}{4}=2\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=2\cdot\frac{1}{2}=1,
confirmando que a fórmula geral está correta.

Resposta

x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2},\\ k\in\mathbb{Z}

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