Resolva as equações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
ou seja, encontrar todos os
reais que satisfazem essa igualdade. Informação dada: a equação trigonométrica acima (não há restrição explícita ao domínio, então procuramos a solução geral, com parâmetro inteiro).
Passo 2
Primeiro isolamos
. Lembrando que
significa
, dividimos ambos os lados por
:
Explicação didática: quando temos uma potência de uma função trigonométrica igual a um número, o próximo passo natural é tirar a raiz quadrada, mas sempre lembrando que
, então aparecerá o caso positivo e o caso negativo para
.
Passo 3
Aplicando a raiz quadrada (considerando os dois sinais) obtemos
É habitual racionalizar o denominador para escrever
Comentário didático: então precisamos achar todos os ângulos cuja seno vale
ou
.
Passo 4
Encontrando as soluções no intervalo principal
:
- Se
, os ângulos no círculo unitário são e . - Se
, os ângulos são e .
Agora escrevemos a solução geral (adicionando
para repetir no ciclo trigonométrico) — uma forma direta é listar as quatro famílias:
com
.
Mas note que essas quatro famílias podem ser reunidas numa expressão mais compacta: somando
sucessivas vezes partimos de
e percorremos exatamente os quatro ângulos acima. Assim a solução geral pode ser escrita de forma única como
Explicação didática: para cada inteiro
a adição de
dá os ângulos
repetidos ciclicamente, cobrindo todos os casos positivos e negativos do seno.
Passo 5
Verificação rápida (exemplo): tomar
. Temos
, logo
confirmando que a fórmula geral está correta.