Simplifique a expressão abaixo, expressando o resultado como uma potência de base 2 :
E=\frac{8^{2 / 3} \cdot \sqrt[4]{16} \cdot 2^{-1}}{\left(\frac{1}{4}\right)^{-3 / 2}}
Dica: escreva todos os fatores como potências de 2 antes de operar.

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão e expressar o resultado como uma potência de base 2.
A expressão dada é
E=\frac{8^{2/3}\cdot\sqrt[4]{16}\cdot 2^{-1}}{\left(\frac{1}{4}\right)^{-3/2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há os fatores 8^{2/3}, \sqrt[4]{16}, 2^{-1} no numerador.
  • Há o fator \left(\frac{1}{4}\right)^{-3/2} no denominador.
  • Dica do enunciado: escrever todos os fatores como potências de 2 antes de operar.

Passo 2

Converter 8^{2/3} em potência de base 2.
Lembrete rápido: 8=2^3 e a regra de potência de potência é
\left(a^p\right)^q = a^{p q}.
Aplicando,
8^{2/3} = \left(2^3\right)^{2/3} = 2^{3\cdot(2/3)} = 2^{2}.

Passo 3

Converter \sqrt[4]{16} em potência de base 2.
Lembrete: a raiz é um expoente fracionário: \sqrt[n]{a}=a^{1/n}. Como 16=2^4,
\sqrt[4]{16} = 16^{1/4} = \left(2^4\right)^{1/4} = 2^{4\cdot(1/4)} = 2^{1}.

Passo 4

O fator 2^{-1} já está em base 2. Lembrete sobre expoente negativo: a^{-p}=\dfrac{1}{a^{p}}. Aqui 2^{-1} representa \dfrac{1}{2}, mas vamos manter como potência de 2.

Passo 5

Converter o denominador \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-3/2} em potência de 2.
Primeiro escrever \dfrac{1}{4} como potência de 2: \dfrac{1}{4}=4^{-1} e 4=2^2, logo
\frac{1}{4} = 2^{-2}.
Agora aplicar a regra da potência de potência:
\left(\frac{1}{4}\right)^{-3/2} = \left(2^{-2}\right)^{-3/2} = 2^{-2\cdot(-3/2)} = 2^{3}.
(Observação: multiplicou-se os expoentes: -2\cdot(-3/2)=3.)

Passo 6

Reescrever toda a expressão E com as potências de 2 encontradas.
Do Passo 2, Passo 3 e Passo 4 o numerador é
2^{2}\cdot 2^{1}\cdot 2^{-1}.
Do Passo 5 o denominador é
2^{3}.

Passo 7

Simplificar o numerador usando a regra do produto de potências de mesma base: a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}.
Somando os expoentes do numerador:
2^{2}\cdot 2^{1}\cdot 2^{-1} = 2^{2+1+(-1)} = 2^{2}.
Agora dividir potências de mesma base: \dfrac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}. Aplicando à expressão \dfrac{2^{2}}{2^{3}},
E = 2^{2-3} = 2^{-1}.

Passo 8

Interpretando 2^{-1} em forma numérica: 2^{-1}=\dfrac{1}{2}. Mas como o enunciado pede “como potência de base 2”, a forma final será 2^{-1}.

Resposta

2^{-1}

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