Resolva a equação exponencial:
Dica: escreva
em termos de
e faça a substituição
.
Passo 1
O que o enunciado pede: resolver a equação exponencial
ou seja, encontrar todos os valores de
que tornam essa igualdade verdadeira.
Informações dadas e dica que vou usar:
- A equação envolve potências de
e . - Dica: escrever
em termos de e fazer a substituição .
Passo 2
Reescrever as potências em termos de
. Primeiro, use a propriedade
e que
:
Agora escrever
usando
. Como
, temos
Também:
Passo 3
Fazer a substituição sugerida: defina
. Note que
porque
é sempre positivo. Substituindo as expressões do Passo 2 na equação original:
Simplificando o segundo termo:
Passo 4
Simplificar a equação quadrática dividindo por
(fator comum) para facilitar os cálculos:
Agora vou resolver essa equação quadrática. Lembre-se da fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para uma equação
, as raízes são
onde
,
e
são os coeficientes da equação.
Aqui
,
,
. Calcule o discriminante:
Passo 5
Aplicar a fórmula para encontrar
:
Assim as duas soluções para
são
Passo 6
Voltar à variável original usando
. Para cada valor de
resolvemos
.
- Se
, então
porque a função exponencial
é injetora (valores distintos de
dão valores distintos), logo igualar potências de mesma base permite igualar os expoentes.
- Se
, note que , então
Ambas as soluções são válidas porque
e os valores encontrados são positivos.
Passo 7
Confirme rapidamente substituindo na equação original (checagem):
- Para
: - Para
:
Ambos satisfazem a equação.