Resolva a equação exponencial:
4^{x+1}-5 \cdot 2^{x+1}+4=0
Dica: escreva 4^{x+1} em termos de 2^{x} e faça a substituição u=2^{x}.

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver a equação exponencial
4^{x+1}-5\cdot 2^{x+1}+4=0
ou seja, encontrar todos os valores de x que tornam essa igualdade verdadeira.
Informações dadas e dica que vou usar:
  • A equação envolve potências de 4 e 2.
  • Dica: escrever 4^{x+1} em termos de 2^{x} e fazer a substituição \,u=2^{x}\,.

Passo 2

Reescrever as potências em termos de 2^{x}. Primeiro, use a propriedade (a^b)^c = a^{bc} e que 4=2^2:
4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2}.
Agora escrever 2^{2x+2} usando 2^x. Como 2^{2x+2}=2^2\cdot 2^{2x}=4\cdot(2^{x})^{2}, temos
4^{x+1} = 4\,(2^{x})^{2}.
Também:
2^{x+1} = 2\cdot 2^{x}.

Passo 3

Fazer a substituição sugerida: defina \,u=2^{x}. Note que \,u>0 porque 2^{x} é sempre positivo. Substituindo as expressões do Passo 2 na equação original:
4^{x+1}-5\cdot 2^{x+1}+4=0 \quad\Longrightarrow\quad 4u^{2}-5\cdot(2u)+4=0.
Simplificando o segundo termo:
4u^{2}-10u+4=0.

Passo 4

Simplificar a equação quadrática dividindo por 2 (fator comum) para facilitar os cálculos:
2u^{2}-5u+2=0.
Agora vou resolver essa equação quadrática. Lembre-se da fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para uma equação au^{2}+bu+c=0, as raízes são
u=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta=b^{2}-4ac,
onde a, b e c são os coeficientes da equação.
Aqui a=2, b=-5, c=2. Calcule o discriminante:
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot 2\cdot 2 = 25-16=9.

Passo 5

Aplicar a fórmula para encontrar u:
u=\frac{-(-5)\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{5\pm 3}{4}.
Assim as duas soluções para u são
u_{1}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2, \qquad u_{2}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Voltar à variável original usando \,u=2^{x}. Para cada valor de u resolvemos 2^{x}=u.
  1. Se u=2, então
2^{x}=2=2^{1}\quad\Rightarrow\quad x=1,
porque a função exponencial 2^{x} é injetora (valores distintos de x dão valores distintos), logo igualar potências de mesma base permite igualar os expoentes.
  1. Se u=\dfrac{1}{2}, note que \dfrac{1}{2}=2^{-1}, então
2^{x}=\frac{1}{2}=2^{-1}\quad\Rightarrow\quad x=-1.
Ambas as soluções são válidas porque u>0 e os valores encontrados são positivos.

Passo 7

Confirme rapidamente substituindo na equação original (checagem):
  • Para x=1: \,4^{1+1}-5\cdot 2^{1+1}+4=4^{2}-5\cdot 2^{2}+4=16-20+4=0.
  • Para x=-1: \,4^{-1+1}-5\cdot 2^{-1+1}+4=4^{0}-5\cdot 2^{0}+4=1-5+4=0.
Ambos satisfazem a equação.

Resposta

x=1
x=-1

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