Dê o sinal de cada um dos números seguintes:
\operatorname{Cotg} \frac{3 \pi}{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o sinal do número \cot\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • O ângulo considerado é \dfrac{3\pi}{2}.
  • A definição que vamos usar: \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}.

Passo 2

Entendendo a geometria e as funções trigonométricas (pequena aula):
  • No círculo trigonométrico, um ponto correspondente ao ângulo x tem coordenadas (\cos x,\sin x). Ou seja, \cos x é a abscissa (x) e \sin x é a ordenada (y) desse ponto.
  • O ângulo \dfrac{3\pi}{2} corresponde a 270^\circ, isto é, uma rotação de 270^\circ a partir do eixo positivo x. No círculo trigonométrico esse ponto é exatamente o ponto inferior: (0,-1).
  • Portanto, a partir do círculo trigonométrico ou de valores conhecidos: \cos\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-1.
  • Observação importante sobre \cot x: como \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, se \sin x=0 a cotangente é indefinida. Aqui, porém, \sin\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-1\neq0, então \cot é bem definida neste ângulo.

Passo 3

Cálculo e conclusão do sinal:
  • Calcular \cot\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) usando os valores acima: \cot\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) =\frac{\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)}{\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)} =\frac{0}{-1}=0.
  • Sobre o sinal de 0: o zero não é positivo nem negativo. Logo, a cotangente vale zero e não tem sinal positivo nem negativo.

Resposta

0 (nem positivo nem negativo)

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