Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
ointC z e^zz^2-2 z-3 d z, onde C é o losango de vértices pm 2, e pm i.

Passo 1

Resumo do problema: temos a integral de contorno ointC z e^zz^2-2z-3,dz onde C é o losango de vértices pm2 e pm i, percorrido no sentido anti-horário. O conteúdo é aplicação da fórmula integral de Cauchy (ou teorema dos resíduos) para funções meromorfas, e vamos precisar identificar polos dentro de C, calcular resíduos e usar 2pi i vezes a soma dos resíduos.

Passo 2

Fatoração do denominador e identificação dos polos: note que
z^2 - 2z - 3 = (z - 3)(z + 1)Logo são polos simples em z = 3 e z = -1.

Passo 3

Determinação dos polos internos ao contorno: o losango com vértices pm2,pm i contém todos os pontos cujas partes real e imaginária satisfazem certa condição de convexidade. Claramente z=-1 fica dentro, enquanto z=3 está fora (fica além do vértice 2).

Passo 4

Cálculo do resíduo em z=-1: como o polo é simples, temos
Resgl(z e^z(z-3)(z+1),,z=-1gr)=limzto-1(z+1)z e^z(z-3)(z+1)=limzto-1z e^zz-3Substituindo z=-1
(-1)e^-1-1-3=-e^-1-4=e^-14

Passo 5

Aplicação da fórmula integral de Cauchy / teorema dos resíduos: só há esse único resíduo dentro de C, então
ointCz e^zz^2-2z-3,dz=2pi isumRes=2pi icdote^-14=2pi i4e^-1=pi i2e^-1

Resposta

pi i2e^-1

Exercícios relacionados