Use a fórmula integral de Cauchy para calcular as integrais descritas nos Exercs. 1 a 13, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
, onde
é o losango de vértices
,
.
Passo 1
Resumo do problema: temos a integral de contorno
onde
é o losango de vértices
e
, percorrido no sentido anti-horário. O conteúdo é aplicação da fórmula integral de Cauchy (ou teorema dos resíduos) para funções meromorfas, e vamos precisar identificar polos dentro de
, calcular resíduos e usar
vezes a soma dos resíduos.
Passo 2
Fatoração do denominador e identificação dos polos: note que
Passo 3
Determinação dos polos internos ao contorno: o losango com vértices
contém todos os pontos cujas partes real e imaginária satisfazem certa condição de convexidade. Claramente
fica dentro, enquanto
está fora (fica além do vértice
).
Passo 4
Cálculo do resíduo em
: como o polo é simples, temos
Passo 5
Aplicação da fórmula integral de Cauchy / teorema dos resíduos: só há esse único resíduo dentro de
, então