Calcule o valor de L para que a função dada seja contínua em (0,0)
f(x, y)=rllx^2 y^4x^4+y^8 sen(x), & se & (x, y) neq(0,0) L, & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define uma função de duas variáveis
f(x,y)= x^2y^4x^4+y^8sin(x),& (x,y)neq(0,0), L,& (x,y)=(0,0),
e pede L para que f seja contínua em (0,0). Em outras palavras, precisamos calcular
lim(x,y)to(0,0)x^2y^4x^4+y^8sin(x)
e igualar esse limite a L.

Passo 2

Para mostrar que esse limite existe e é igual a zero, usamos uma desigualdade via AM–GM. Note que para todo par (x,y) real temos
x^4+y^82;>=;raizx^4,y^8 ;=;x^2y^4
Logo
x^4+y^8;>=;2,x^2y^4 Longrightarrow x^2y^4x^4+y^8;<=;12
Isso dá
|x^2y^4x^4+y^8sin(x)| ;<=;12,|sin(x)| ;<=;12,|x|,
pois |sin(x)|<=|x|. Como |x|to0 quando (x,y)to(0,0), pelo Teorema do Confronto segue que
lim(x,y)to(0,0)x^2y^4x^4+y^8sin(x)=0

Passo 3

Para que f seja contínua em (0,0), precisamos ter
L=lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Resposta

L=0

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