Suponha que f: R^2 R seja contínua no retângulo A=(x, y) in R^2 ; a <= x <= b ; c <= y <= d. Mostre que f é limitada nessse retângulo, isto é, existe M>0 tal que |f(x, y)| <= M para todo (x, y) in A. Dica: Suponha, por absurdo, que não, divida o retangulo A em quatro pedaços, em um deles f não é limnitada, e existe ( x1, y1 ) tal que |f(x1, y1)| >= 1, subdivida este retangulo novamente em quatro pedaços c obtenha (x2, y2) com |f(x2, y2)| >= 2. Prossiga por indução e obtenha sequencia ( xj, yj ) em R^2. Mostre que essa sequencia converge, mas f(xj, yj) não converge. e utilize a questão anterior para concluir;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma função f:R^2toR, contínua no retângulo
A=l(x,y)inR^2mid a<= x<= b,;c<= y<= dr,
é necessariamente limitada em A. Ou seja, devemos provar que existe M>0 tal que
|f(x,y)|<= M para todo (x,y)in A
A estratégia será por redução ao absurdo, usando subdivisões sucessivas de A e o fato (do exercício anterior) de que uma função contínua leva sequências convergentes em sequências convergentes.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que f não seja limitada em A. Então, ao dividir A em quatro subretângulos congruentes, pelo menos um deles, digamos R1, deve conter pontos onde lvert frvert atinge valores arbitrariamente grandes. Em particular, podemos escolher (x1,y1)in R1 tal que
l|f(x1,y1)r|>= 1

Passo 3

Agora subdivida R1 novamente em quatro pedaços congruentes. Pelo mesmo raciocínio, existe um desses pedaços, digamos R2subset R1, que não é limitado, e portanto podemos escolher (x2,y2)in R2 com
l|f(x2,y2)r|>= 2
Repetindo esse processo por indução, obtemos uma sequência de retângulos aninhados
R1supset R2supset R3supsetcdots,
e pontos (xk,yk)in Rk tais que
l|f(xk,yk)r|>= k, k=1,2,3,dots

Passo 4

Como a cada etapa cada retângulo Rk tem dimensões metade das de Rk-1, o diâmetro de Rk tende a zero quando ktoinfty. Pelo princípio dos retângulos aninhados (ou simplesmente pela completude de R^2), existe um único ponto
(x^*,y^*);=;capk=1^inftyRk;in A
e a sequência l((xk,yk)r) converge para (x^*,y^*).

Passo 5

Como f é contínua em (x^*,y^*), a imagem da sequência converge para f(x^*,y^*). Ou seja,
f(xk,yk);longrightarrow;f(x^*,y^*)quando ktoinfty
Mas isso contradiz o fato de termos l|f(xk,yk)r|>= k, pois o lado direito cresce para infinito e não pode convergir a um número finito.

Resposta

Da contradição decorre que nossa suposição de que f não fosse limitada estava errada. Portanto existe M>0 tal que
|f(x,y)|<= M para todo (x,y)in A,
ou seja, f é limitada em A.

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