Suponha que seja contínua no retângulo . Mostre que é limitada nessse retângulo, isto é, existe tal que para todo . Dica: Suponha, por absurdo, que não, divida o retangulo em quatro pedaços, em um deles não é limnitada, e existe ( ) tal que , subdivida este retangulo novamente em quatro pedaços c obtenha com . Prossiga por indução e obtenha sequencia ( ) em . Mostre que essa sequencia converge, mas não converge. e utilize a questão anterior para concluir;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma função , contínua no retângulo
é necessariamente limitada em . Ou seja, devemos provar que existe tal que
A estratégia será por redução ao absurdo, usando subdivisões sucessivas de e o fato (do exercício anterior) de que uma função contínua leva sequências convergentes em sequências convergentes.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que não seja limitada em . Então, ao dividir em quatro subretângulos congruentes, pelo menos um deles, digamos , deve conter pontos onde atinge valores arbitrariamente grandes. Em particular, podemos escolher tal que
Passo 3
Agora subdivida R1 novamente em quatro pedaços congruentes. Pelo mesmo raciocínio, existe um desses pedaços, digamos R2subset R1, que não é limitado, e portanto podemos escolher (x2,y2)in R2 com
l|f(x2,y2)r|>= 2
Repetindo esse processo por indução, obtemos uma sequência de retângulos aninhados
R1supset R2supset R3supsetcdots,
e pontos (xk,yk)in Rk tais que
l|f(xk,yk)r|>= k, k=1,2,3,dots
Passo 4
Como a cada etapa cada retângulo Rk tem dimensões metade das de Rk-1, o diâmetro de Rk tende a zero quando ktoinfty. Pelo princípio dos retângulos aninhados (ou simplesmente pela completude de R^2), existe um único ponto
(x^*,y^*);=;capk=1^inftyRk;in A
e a sequência l((xk,yk)r) converge para (x^*,y^*).
Passo 5
Como f é contínua em (x^*,y^*), a imagem da sequência converge para f(x^*,y^*). Ou seja,
f(xk,yk);longrightarrow;f(x^*,y^*)quando ktoinfty
Mas isso contradiz o fato de termos l|f(xk,yk)r|>= k, pois o lado direito cresce para infinito e não pode convergir a um número finito.
Resposta
Da contradição decorre que nossa suposição de que f não fosse limitada estava errada. Portanto existe M>0 tal que