Encontre as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y nos casos abaixo:
(a) f(x, y)=x y^2 sin (x y)
(b) f(x, y, z)=z^x y
(c) f(x, y)=x cos (e^y)
(d) f(x, y, z)=x^22 y cos (z)
(e) f(x, y)=arctan (xy)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y de cinco funções diferentes. Vamos usar as regras de derivação: produto, cadeia, exponenciação via logaritmo e derivada de funções trigonométricas e inversas.

Passo 2

Para f(x,y)=x,y^2sin(xy) temos um produto de três fatores.
– Derivando em relação a x, tratamos y como constante e aplicamos produto e cadeia:
partial fpartial x =partialpartial xl(x,y^2r)sin(xy) +x,y^2partialpartial xl[sin(xy)r]
O primeiro termo é y^2sin(xy). No segundo usamos ddxsin(xy)=cos(xy)cdot y. Logo
partial fpartial x =y^2sin(xy)+x,y^3cos(xy)
– Derivando em relação a y, agora x é constante e aplicamos produto e cadeia:
partial fpartial y =;xcdot2ysin(xy) +x,y^2l[cos(xy)cdot xr]
Assim
partial fpartial y =2xysin(xy)+x^2y^2cos(xy)

Passo 3

Para f(x,y,z)=z^xy escrevemos z^xy=e^xyln z.
– Em x, a derivada de e^xyln z é ele mesmo vezes a derivada do expoente xyln z que é yln z.
partial fpartial x =z^xy,yln z
– Em y, de modo análogo, o coeficiente do expoente é xln z, então
partial fpartial y =z^xy,xln z

Passo 4

Para f(x,y)=xcosl(e^yr):
– Em x, cos(e^y) é constante, logo
partial fpartial x =cosl(e^yr)
– Em y, usamos cadeia duas vezes: derivada de cos(u) é -sin(u) vezes u=e^y cuja derivada é e^y. Fica
partial fpartial y =xl[-sin(e^y)r],e^y =-x,e^ysinl(e^yr)

Passo 5

Para f(x,y,z)=dfracx^22,ycos(z) trataremos z como constante.
– Em x, a única dependência é x^2, então
partial fpartial x =2x2,ycos(z) =xycos(z)
– Em y, derivamos tfrac1y que é -1/y^2, mantendo x^2/(2cos z) fixo:
partial fpartial y =x^22cos(z)l(-tfrac1y^2r) =-x^22,y^2cos(z)

Passo 6

Para f(x,y)=arctan!l(tfracxyr) usamos cadeia e derivada de arctan(u), que é 1/(1+u^2).
– Em x, u=x/y tem derivada 1/y, então
partial fpartial x =11+(x/y)^2cdot1y =1y+tfracx^2y =yx^2+y^2
– Em y, ddy(x/y)=-x/y^2, logo
partial fpartial y =11+(x/y)^2cdotl(-tfracxy^2r) =-xx^2+y^2

Resposta

(a)
partial fpartial x =y^2sin(xy)+x,y^3cos(xy), partial fpartial y =2xysin(xy)+x^2y^2cos(xy)
(b)
partial fpartial x =z^xy,yln z, partial fpartial y =z^xy,xln z
(c)
partial fpartial x =cosl(e^yr), partial fpartial y =-x,e^ysinl(e^yr)
(d)
partial fpartial x =xycos(z), partial fpartial y =-x^22,y^2cos(z)
(e)
partial fpartial x =yx^2+y^2, partial fpartial y =-xx^2+y^2

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