Encontre as derivadas parciais
e
nos casos abaixo:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
de cinco funções diferentes. Vamos usar as regras de derivação: produto, cadeia, exponenciação via logaritmo e derivada de funções trigonométricas e inversas.
Passo 2
Para
temos um produto de três fatores.
– Derivando em relação a , tratamos
como constante e aplicamos produto e cadeia:
– Derivando em relação a
O primeiro termo é
. No segundo usamos
. Logo
– Derivando em relação a
, agora
é constante e aplicamos produto e cadeia:
Assim
Passo 3
Para
escrevemos
.
– Em , a derivada de
é ele mesmo vezes a derivada do expoente
que é
.
– Em
– Em
, de modo análogo, o coeficiente do expoente é
, então
Passo 4
Para
:
– Em ,
é constante, logo
– Em
– Em
, usamos cadeia duas vezes: derivada de
é
vezes
cuja derivada é
. Fica
Passo 5
Para
trataremos
como constante.
– Em , a única dependência é
, então
– Em
– Em
, derivamos
que é
, mantendo
fixo:
Passo 6
Para
usamos cadeia e derivada de
, que é
.
– Em ,
tem derivada
, então
– Em
– Em
,
, logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)