Calcule as derivadas parciais indicadas:
partial fpartial x, partial fpartial y ; f(x, y)=y^2 ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=y^2,lnl(x^2+y^2r)
ou seja, partial fpartial x e partial fpartial y. Vamos usar a regra da cadeia para a parte ln(x^2+y^2) e, no caso de partial f/partial y, também a regra do produto.

Passo 2

Para partial fpartial x tratamos y como constante e vemos que
f(x,y)=y^2,lnl(x^2+y^2r)
é uma constante y^2 vezes ln(u) com u=x^2+y^2. Pela regra da cadeia,
ddxln(u)=u'u e u'=2x
Logo,
partial fpartial x = y^2cdot2xx^2+y^2 = 2x,y^2x^2+y^2

Passo 3

Para partial fpartial y aplicamos a regra do produto em
;y^2cdotln(x^2+y^2). Temos duas partes:
  1. Derivada de y^2 vezes ln(x^2+y^2).
  2. y^2 vezes derivada de ln(x^2+y^2).
A derivada de y^2 é 2y, e pela regra da cadeia para ln com u=x^2+y^2 obtemos u'=2y. Então
partial fpartial y = 2y;lnl(x^2+y^2r) ;+;y^2;2yx^2+y^2 = 2y,lnl(x^2+y^2r) +2y^3x^2+y^2

Resposta

partial fpartial x(x,y) = 2x,y^2x^2+y^2, partial fpartial y(x,y) = 2y,lnl(x^2+y^2r) +2y^3x^2+y^2

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