Calcule o valor de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor de
.
Informações dadas: o número é a unidade imaginária, com a propriedade fundamental
.
A tarefa é simplificar a expressão e obter um número complexo (provavelmente um número real neste caso).
Informações dadas: o número
A tarefa é simplificar a expressão e obter um número complexo (provavelmente um número real neste caso).
Passo 2
Primeiro objetivo: simplificar a fração
. Uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar a parte imaginária no denominador. O conjugado de
é
. Então fazemos:
Passo 3
Calcular separadamente numerador e denominador:
Portanto
Passo 4
Interpretação didática rápida: multiplicar pelo conjugado é equivalente a usar a identidade
, aqui com
e
. Isso limpa o denominador transformando-o em número real. Resultado obtido: a fração é exatamente
.
Passo 5
Agora substituímos na potência:
Passo 6
Propriedade importante dos poderes de
: os valores periódicos são
e a sequência se repete a cada 4 expoentes porque
. Logo, para qualquer inteiro
basta olhar
.
Passo 7
Aplicando isso a
: calcular o resto da divisão de
por
:
portanto
. Assim
Passo 8
Lembrando a identidade fundamental, temos
. Portanto a expressão original é igual a
.
Resposta
-1