Calcule o valor de:
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{30}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{30}.
Informações dadas: o número i é a unidade imaginária, com a propriedade fundamental \,i^2=-1.
A tarefa é simplificar a expressão e obter um número complexo (provavelmente um número real neste caso).

Passo 2

Primeiro objetivo: simplificar a fração \dfrac{1+i}{1-i}. Uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar a parte imaginária no denominador. O conjugado de 1-i é 1+i. Então fazemos:
\frac{1+i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}.

Passo 3

Calcular separadamente numerador e denominador:
(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i,
(1-i)(1+i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2.
Portanto
\frac{1+i}{1-i}=\frac{2i}{2}=i.

Passo 4

Interpretação didática rápida: multiplicar pelo conjugado é equivalente a usar a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2, aqui com a=1 e b=i. Isso limpa o denominador transformando-o em número real. Resultado obtido: a fração é exatamente \,i.

Passo 5

Agora substituímos na potência:
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{30}=i^{30}.

Passo 6

Propriedade importante dos poderes de i: os valores periódicos são
i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1,
e a sequência se repete a cada 4 expoentes porque i^4=1. Logo, para qualquer inteiro n basta olhar n \bmod 4.

Passo 7

Aplicando isso a 30: calcular o resto da divisão de 30 por 4:
30 = 4\cdot 7 + 2,
portanto 30 \equiv 2 \pmod{4}. Assim
i^{30} = (i^4)^7 \cdot i^2 = 1^7 \cdot i^2 = i^2.

Passo 8

Lembrando a identidade fundamental, temos \,i^2=-1. Portanto a expressão original é igual a -1.

Resposta

-1

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