Determine h de modo que a regra do trapézio generalizada forneça o valor de:
I=\int_{0}^{1,2} e^{x} \cos (x) d x
com erro inferior a 0,5 \times 10^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede a integral
I = \int_{0}^{1,2} e^{x}\cos(x)\,dx
pela regra dos trapézios composta, com erro absoluto menor que 0,5\times10^{-3}.
Para controlar o erro, vamos usar a fórmula do erro da regra dos trapézios composta, que exige o máximo de \lvert f''(x)\rvert em [0,1,2].

Passo 2

Definimos f(x)=e^{x}\cos(x). Calculamos as derivadas:
f'(x)=e^{x}(\cos x-\sin x),
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl[e^{x}(\cos x-\sin x)\bigr] =e^{x}(\cos x-\sin x)+e^{x}(-\sin x-\cos x) =-2\,e^{x}\sin x.
Portanto
\lvert f''(x)\rvert=2\,e^{x}\,\lvert\sin x\rvert.

Passo 3

No intervalo [0,1,2] temos \sin x\ge0, logo
M=\max_{x\in[0,1,2]}\lvert f''(x)\rvert =2\,e^{1,2}\,\sin(1,2).

Passo 4

A fórmula de erro da regra dos trapézios composta com passo h em [a,b] é
\lvert E\rvert \le \frac{b-a}{12}\,h^{2}\,M.
Aqui a=0, b=1,2, logo
\lvert E\rvert \le \frac{1,2}{12}\,h^{2}\,M = 0,1\,M\,h^{2}.
Queremos 0,1\,M\,h^{2}\le0,5\times10^{-3}, isto é
h^{2} \le \frac{0,5\times10^{-3}}{0,1\,M} =\frac{5\times10^{-4}}{0,1\,M}.

Passo 5

Estimando numericamente
M=2\,e^{1,2}\,\sin(1,2)\approx2\times3,3201\times0,9320\approx6,19,
temos
h^{2}\le\frac{5\times10^{-4}}{0,1\times6,19}\approx8,07\times10^{-4},
h\le\sqrt{8,07\times10^{-4}}\approx0,0284.
Como na regra composta h=(b-a)/n=1,2/n, basta escolher n\ge1,2/0,0284\approx42,25, ou seja n=43 subintervalos, o que dá
h=\frac{1,2}{43}\approx0,0279\le0,0284.

Resposta

Para garantir erro menor que 0,5\times10^{-3} use
h\le0,0284,
por exemplo dividindo [0,1,2] em n=43 subintervalos, de modo que
h=\frac{1,2}{43}\approx0,0279.

Exercícios relacionados